[论文解读] Reliability properties of k-out-of-n systems with one cold standby unit
本文研究了在离散时间失效模型下，具有一个冷备用单元的k-out-of-n系统的可靠性，重点关注组件寿命服从几何分布、负二项分布或离散威布尔分布的系统。提出了一种数值方法，以受控误差界近似期望系统寿命和平均残余寿命，并在IFR/DFR条件下建立了异质且依赖组件的单调性和随机序性质。
In this paper, we study reliability properties of a k-out-of-n system with a single cold standby unit. We mainly focus on the case when the system operates in discrete time. In order to describe its aging behavior we consider three different mean residual life functions. By using some properties of order statistics we present several monotonicity results associated with these reliability characteristics. Since the calculation of the described quantities requires finding sums of infinite series, we provide a procedure to approximate them with an error not greater than a desired value. As an illustration we consider three special cases when the component lifetimes have geometric, negative binomial and discrete Weibull distributions.
研究动机与目标
- 分析当组件寿命呈离散分布时，具有单个冷备用单元的k-out-of-n系统的可靠性特性。
- 开发一种数值方法，对这类系统的期望寿命和平均残余寿命进行近似，并保证误差界。
- 在IFR和DFR条件下，建立系统寿命和残余寿命的单调性与随机序结果。
- 为三种离散寿命分布（几何分布、负二项分布和离散威布尔分布）提供显式公式和收敛界。
提出的方法
- 通过顺序统计量和基于故障序列的条件期望，推导系统寿命分布和期望的精确表达式。
- 通过利用极值顺序统计量的生存函数，提出一种方法来界定无限级数近似中期望寿命的误差。
- 使用随机序（一般随机序、风险率序）比较不同组件寿命分布下的系统寿命。
- 应用负二项分布和离散威布尔分布的逆生存函数，计算数值近似的收敛阈值。
- 利用不完全伽马函数和不完全β函数，推导离散威布尔情形下的误差界。
- 通过三个说明性例子验证该方法，分别采用几何分布、负二项分布和离散威布尔分布的组件寿命。
实验结果
研究问题
- RQ1当组件寿命为离散分布且级数涉及无穷级数时，如何近似具有一个冷备用单元的k-out-of-n系统的期望寿命？
- RQ2在无组件失效时，什么条件能保证平均残余寿命函数的单调性，特别是当组件分布为IFR或DFR时？
- RQ3系统寿命之间的随机序如何依赖于底层的组件寿命分布，尤其是在存在依赖或异质性的情况下？
- RQ4在指定误差容限下，近似系统可靠性函数和期望寿命的收敛阈值是什么？
- RQ5选择不同的离散寿命分布（几何分布、负二项分布、离散威布尔分布）如何影响系统的可靠性及残余寿命特性？
主要发现
- 系统期望寿命可通过在有限时间t₀处截断生存函数的无穷级数来近似，误差由d > 0控制。
- 对于几何分布、负二项分布和离散威布尔分布的组件，推导出显式公式以计算确保误差≤d的所需截断点t₀。
- 当组件为IFR时，给定无故障时系统的平均残余寿命随时间递减；当为DFR时，其随时间递增。
- 在某些分布假设下，系统寿命随机支配具有更少活动组件的系统寿命。
- 该方法通过使用逆生存函数和特殊函数（如伽马函数和β函数）提供了一套实用的计算框架，用于计算收敛阈值。
- 通过三个具体例子验证了该方法，结果表明在各种离散寿命假设下，系统可靠性指标的近似具有高精度和高效率。
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