[论文解读] Reliable and efficient a posteriori error estimates of DG methods for a frictional contact problem

Fei Wang, Weimin Han|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文针对摩擦接触问题（以二阶混合变分不等式形式表述）的不连续伽辽金（DG）方法，提出了可靠且高效的后验误差估计量。通过将变分不等式中的误差与关联线性问题的误差相关联，作者推导出残差型估计量，并证明了其可靠性和效率，其界依赖于局部残差、解的跃迁以及数据振荡。

ABSTRACT

A posteriori error estimators are studied for discontinuous Galerkin methods for solving a frictional contact problem, which is a representative elliptic variational inequality of the second kind. The estimators are derived by relating the error of the variational inequality to that of a linear problem. Reliability and efficiency of the estimators are shown.

研究动机与目标

• 为受二阶混合变分不等式控制的摩擦接触问题，发展不连续伽辽金（DG）方法的后验误差估计量。
• 建立所提误差估计量的可靠性和效率，确保其能准确反映自适应有限元方法中的真实误差。
• 通过利用对偶方法与残差技术，将后验误差分析框架从线性问题推广至变分不等式。
• 提供可计算的误差指示量，以指导自适应算法中的网格加密，尤其适用于非光滑或不可微解的问题。
• 确保误差估计量对网格不规则性（包括悬挂节点）具有鲁棒性，得益于DG方法的灵活性。

提出的方法

• 通过将变分不等式中的误差与关联线性椭圆问题的误差相关联，推导后验误差估计量。
• 基于单元残差、单元界面处的跃迁项以及数据振荡，构造残差型误差指示量。
• 采用一种恢复技术，通过残差与数值通量的局部投影来近似真实误差。
• 应用柯西-施瓦茨不等式与逆估计，将误差以局部残差和解跃迁的形式进行有界控制。
• 采用对偶问题方法与稳定性估计，以控制误差指示量的一致性与可靠性。
• 通过用真实误差、数据振荡与对偶解的跃迁从下界控制局部误差指示量，证明效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为应用于摩擦接触问题的不连续伽辽金方法构造出可靠且高效的后验误差估计量？
• RQ2 如何将二阶混合变分不等式中的误差与关联线性问题的误差相关联，以实现误差估计？
• RQ3 在DG方法中，残差、跃迁与数据振荡等关键组成部分如何构成此类问题的局部误差指示量？
• RQ4 所提估计量在自适应网格加密中在多大程度上能反映真实误差？
• RQ5 在标准有限元假设下，能否从理论上证明估计量的效率？

主要发现

• 所提出的后验误差估计量具有可靠性，即全局误差被一个常数乘以局部误差指示量之和所上界控制。
• 估计量具有高效性，因为局部误差指示量被一个常数乘以真实误差所下界控制，从而避免过度加密。
• 效率界包含能量范数误差、对偶解的跃迁、数据振荡以及局部残差项。
• 误差估计量满足如下界：$ \eta_K \leq C\left(|u - u_h|_{\omega_K} + \sum_{e \in \mathcal{E}(K) \cap \mathcal{E}_2} |\lambda - \lambda_h|_{*,e} + h_K \|f - f_h\|_{\omega_K} + \sum_{e \in \mathcal{E}(K) \cap \mathcal{E}_2} h_e \|\lambda_h - \overline{\lambda}_h\|_e^2 \right) $，其中 $ C $ 与网格尺寸无关。
• 分析结果表明，误差估计量在网格加密下具有鲁棒性，且由于DG方法的灵活性，可适用于含悬挂节点的一般网格。