[论文解读] Reliable Hubs for Partially-Dynamic All-Pairs Shortest Paths in Directed Graphs

Adam Karczmarz, Jakub Łącki|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 27被引用 6

一句话总结

本论文提出了首个在有向图中实现全源最短路径的确定性部分动态算法，其更新时间复杂度为亚二次，通过可靠枢纽集实现(1+ǫ)-近似距离维护。该工作提出了一种新颖的枢纽维护框架，分别采用确定性算法和拉斯维加斯算法处理增量与减量设置，通过利用近似最短路径树和阻断集技术，在边权属于[1,W]的加权图中实现更快、无错误的动态全源最短路径计算。

ABSTRACT

We give new partially-dynamic algorithms for the all-pairs shortest paths problem in weighted directed graphs. Most importantly, we give a new deterministic incremental algorithm for the problem that handles updates in $\widetilde{O}(mn^{4/3}\log{W}/ε)$ total time (where the edge weights are from $[1,W]$) and explicitly maintains a $(1+ε)$-approximate distance matrix. For a fixed $ε>0$, this is the first deterministic partially dynamic algorithm for all-pairs shortest paths in directed graphs, whose update time is $o(n^2)$ regardless of the number of edges. Furthermore, we also show how to improve the state-of-the-art partially dynamic randomized algorithms for all-pairs shortest paths [Baswana et al. STOC'02, Bernstein STOC'13] from Monte Carlo randomized to Las Vegas randomized without increasing the running time bounds (with respect to the $\widetilde{O}(\cdot)$ notation). Our results are obtained by giving new algorithms for the problem of dynamically maintaining hubs, that is a set of $\widetilde{O}(n/d)$ vertices which hit a shortest path between each pair of vertices, provided it has hop-length $Ω(d)$. We give new subquadratic deterministic and Las Vegas algorithms for maintenance of hubs under either edge insertions or deletions.

研究动机与目标

• 为解决随机化动态全源最短路径算法的局限性，特别是蒙特卡罗错误及对无偏对手的依赖。
• 设计一种确定性增量算法，用于在有向加权图中以亚二次总更新时间维护(1+ǫ)-近似全源最短路径。
• 在不增加渐近更新时间界限的前提下，将现有减量随机化算法从蒙特卡罗提升为拉斯维加斯算法。
• 通过使用(1+ǫ)-近似最短路径重新定义枢纽，将枢纽维护技术从无权图扩展至加权有向图。
• 在自适应对手模型下，实现可靠且确定性的枢纽维护，确保算法正确性。

提出的方法

• 将枢纽定义为击中所有长度≥d+1条边的(1+ǫ)-近似最短路径的集合。
• 在每个顶点出发的(1+ǫ)-近似最短路径树上应用King的阻断集算法，至深度d，以计算可靠的枢纽集。
• 采用采样与验证策略，结合拉斯维加斯保证：反复采样候选枢纽集，直至找到有效的阻断集。
• 维护一个枢纽集层级H1, H6, H6², ..., H6ᵏ，其跳跃阈值呈指数级增长，以降低验证成本。
• 使用动态树数据结构在边删除时维护最短路径树，并以多项式对数时间复杂度高效验证阻断集。
• 利用路径分解与拼接技术，在传播近似距离时通过枢纽集保持(1+ǫ)-近似性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种确定性增量算法，用于在有向图中以亚二次总更新时间维护(1+ǫ)-近似全源最短路径？
• RQ2 能否在不增加渐近更新时间的前提下，将现有的蒙特卡罗随机化减量APSP算法升级为拉斯维加斯算法？
• RQ3 在加权有向图中，如何可靠地维护枢纽集，其中路径长度依赖于边权而非边数？
• RQ4 在动态更新下，为确保高概率或确定性正确性，维护枢纽有效性的最小开销是多少？
• RQ5 该枢纽维护框架能否扩展以支持增量与减量更新，并保持多项式对数时间复杂度的开销？

主要发现

• 本论文提出一种确定性增量算法，用于在有向图中实现(1+ǫ)-近似全源最短路径，总更新时间为eO(mn⁴⁄³ log W / ǫ)，无论边数多少，均实现亚二次性能。
• 首次在有向图中实现总操作更新时间o(n²)的确定性部分动态全源最短路径算法，突破了二次时间壁垒。
• 在无偏对手假设下，作者将减量随机化APSP算法从蒙特卡罗提升为拉斯维加斯算法，且未增加渐近更新时间。
• 基于(1+ǫ)-近似最短路径的新枢纽定义，使在加权图中实现可靠维护成为可能，克服了传统基于跳跃数的枢纽模型的局限性。
• 通过使用分层枢纽集H1, H6, H6², ..., H6ᵏ，显著降低验证成本，使动态枢纽维护的总更新时间达到eO(nm)。
• 该框架支持通过调整参数，将现有APSP数据结构无缝替换为可靠的枢纽集：将h增加多项式对数因子，将ǫ′减少多项式对数因子。