[论文解读] Reliable Simulation of Quantum Channels: the Error Exponent

Ke Li, Yongsheng Yao|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

本文在经典通信与无限共享纠缠的条件下，精确确定了当通信速率低于临界阈值时，量子通道模拟的可靠性函数。通过使用参数为1至2的夹紧Rényi互信息，推导出紧致的可达性与相对界，首次为该量提供了在通道模拟中的操作性解释，并为实际应用提供了有限块长性能界。

ABSTRACT

The Quantum Reverse Shannon Theorem has been a milestone in quantum information theory. It states that asymptotically reliable simulation of a quantum channel, assisted by unlimited shared entanglement, requires a rate of classical communication equal to the channel's entanglement-assisted classical capacity. In this paper, we study the error exponent of quantum channel simulation, which characterizes the optimal speed of exponential convergence of the performance towards the perfect, as the blocklength increases. Based on channel purified distance, we derive lower and upper bounds for the error exponent. Then we show that the two bounds coincide when the classical communication rate is below a critical value, and hence, we have determined the exact formula of the error exponent in the low-rate case. This enables us to obtain an operational interpretation to the channel's sandwiched Rényi information of order from 1 to 2, since our formula is expressed as a transform of this quantity. In the derivation, we have also obtained an achievability bound for quantum channel simulation in the finite-blocklength setting, which is of realistic significance.

研究动机与目标

• 表征在经典通信与共享纠缠条件下，量子通道模拟的指数收敛速率（可靠性函数）。
• 确定当经典通信速率低于临界阈值时，可靠性函数的精确公式。
• 为模拟多个量子通道副本提供有限块长可达性界，以增强实际应用的相关性。
• 在通道模拟背景下，建立夹紧Rényi互信息（阶数介于1与2之间）的操作性解释。

提出的方法

• 利用夹紧Rényi散度与互信息，推导出可靠性函数的紧致上下界。
• 应用夹紧Rényi散度的数据处理不等式，建立对通道模拟性能的界。
• 利用函数 $ s \mapsto sI_{1+s}(\mathcal{N}) $ 的凸性与单调性，分析可靠性函数的行为。
• 引入一种涉及旗系统经典测量映射的协议，用于模拟通道并分析其保真度。
• 借助通道模拟与态判别之间的对偶性，通过最小化Rényi散度推导界。
• 采用Rényi互信息的变分形式，将可靠性函数表达为 $ I_{\alpha}(\mathcal{N}) $ 的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当经典通信速率低于临界值时，使用经典通信与无限纠缠模拟量子通道的精确可靠性函数是什么？
• RQ2 随着块长增加，模拟误差的指数衰减速率有多快？该衰减速率由什么决定？
• RQ3 在量子通道模拟背景下，阶数介于1与2之间的夹紧Rényi互信息能否获得操作性解释？
• RQ4 能够为模拟多个量子通道副本推导出哪些有限块长性能界？

主要发现

• 当经典通信速率低于临界值 $ R_{\text{critical}} $ 时，可靠性函数被精确确定，其精确公式以夹紧Rényi互信息 $ I_{\alpha}(\mathcal{N}) $ 表示。
• 当速率 $ r > R_{\text{critical}} $ 时，下界变为线性形式：$ E_l(r) = \frac{1}{2}(r - I_2(\mathcal{N})) $，表明指数衰减速率被简化。
• 当速率超过 $ I_{\text{max}}(\mathcal{N}) = \lim_{s\to\infty} I_{1+s}(\mathcal{N}) $ 时，可靠性函数的上界发散至无穷大，表明不存在有限的指数衰减速率。
• 为模拟 $ \mathcal{N}^{\otimes n} $ 推导出显式的有限块长可达性界，为实际通道模拟提供了现实的性能估计。
• 阶数 $ \alpha \in (1,2] $ 的夹紧Rényi互信息被操作性地解释为控制通道模拟可靠性的关键量。