[论文解读] Remark on multi-particle observables and entangled states with constant complexity

Dominik Janzing, Thomas Beth|ArXiv.org|Mar 24, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 3

一句话总结

该论文表明，深度为常数的量子网络无法制备或测量表现出宏观量子不确定性的高度纠缠多体态，这种不确定性由参数 $ e_{\rho} $ 量化。论文证明，此类态与可观测量需要网络深度在 $ \log n $ 量级，从而确立了宏观量子行为的基本复杂性阈值。

ABSTRACT

We show that every density matrix of an n-particle system prepared by a quantum network of constant depth is asymptotically commuting with the mean-field observables. We introduce certain pairs of hypersurfaces in the space of density matrices and give lower bounds for the depth of a network which prepares states lying outside those pairs. The measurement of an observable which is not asymptotically commuting with the mean-field observables requires a network of depth in the order of log n, if one demands the measurement to project the state into the eigenspace of the measured observable.

研究动机与目标

• 研究常数深度量子网络在制备或测量表现出宏观量子行为的高度纠缠多体态方面的局限性。
• 形式化量子网络深度与访问违反宏观实在论态的能力之间的联系，该联系由参数 $ e_{\rho} $ 所捕捉。
• 建立制备或测量与平均场近似不相容的可观测量所需深度的下限，此类近似是经典宏观行为的核心。
• 分析网络深度在薛定谔猫型悖论中的作用，其中宏观上不同的态的量子叠加态挑战经典直觉。

提出的方法

• 定义参数 $ e_{\rho} $ 以量化多体密度矩阵 $ \rho $ 中的宏观量子不确定性程度，$ e_{\rho} $ 越大表示非经典行为越强。
• 引入平均场可观测量 $ \overline{a} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i $，表示系统的集体性质。
• 证明任何可通过常数深度网络测量的可观测量 $ c $，其谱投影必须与 $ \overline{a} $ 渐近对易，且对易子范数满足 $ \| [\overline{a}, A^*(P)] \| \leq \frac{2^k}{\sqrt{2n}} $，其中 $ k $ 为网络深度。
• 利用可观测量的谱投影分析测量结果与平均场行为的相容性，表明非对易可观测量需要更深的电路。
• 利用张量积希尔伯特空间的结构以及局部算符之间支持重叠的特性，对对易子表达式中的相互作用项数量进行有界。
• 建立每局部算符最多有 $ 4^k $ 对具有重叠支持的算符，从而导致对易子界中出现 $ \sqrt{4^k / n} $ 的标度。

实验结果

研究问题

• RQ1 深度为常数的量子网络能否制备具有大 $ e_{\rho} $ 的多体态，以指示宏观量子叠加？
• RQ2 制备或测量与平均场可观测量不相容的可观测量所需的量子网络最小深度是多少？
• RQ3 网络实现的可观测量与平均场可观测量之间的渐近对易性，如何限制可访问纠缠态的集合？
• RQ4 量子线路中的资源约束——特别是深度——在多大程度上对宏观量子现象（如薛定谔猫 gedanken 实验中的现象）施加根本性限制？

主要发现

• 任何可通过深度为 $ k $ 的量子网络测量的可观测量，其谱投影必须与平均场可观测量渐近对易，且对易子范数受 $ \frac{2^k}{\sqrt{2n}} $ 限制。
• 具有大 $ e_{\rho} $ 的态（指示宏观量子不确定性）无法由常数深度网络制备，因为其需要 $ \Theta(\log n) $ 的深度。
• 测量与平均场行为不相容的可观测量所需的深度同样为 $ \Theta(\log n) $，与态制备所需深度一致。
• 对易子范数的界表明，常数深度网络无法访问与宏观实在论或薛定谔猫悖论相关的全部纠缠态集合。
• 在深度为 $ k $ 的网络中，每局部算符具有重叠支持的算符对数量最多为 $ 4^k $，这限制了非对易性的增长。
• 结果表明，‘极低复杂度纠缠’——如深度为2的网络所生成的纠缠——无法产生与 $ e_{\rho} $ 大的态相关的高度非局域、宏观纠缠。