[论文解读] Remarks on 1-motivic sheaves

Alessandra Bertapelle|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 4

一句话总结

本论文通过引入有限连通 k-群概形，建立了完美域上 1-动机层与 1-动机的积分、特征无关定义，从而在不反转指数特征的情况下构造了 abelian 范畴 tM₁。关键结果是在特征为 0 或其素域的超越纯量的完美域上，有界导出范畴 Db(Shv₁^fppf) 与 Db(tM₁) 之间的等价性，扩展了 Voevodsky 的 motivic 同伦论中的早期结果，且无需在 p 处局部化。

ABSTRACT

We generalize the construction of the category of 1-motives with torsion ${}^tM_1$ (introduced by Barbieri-Viale, Rosenschon and Saito) as well as the construction of the category of 1-motivic sheaves ${ m Shv}_1$ (defined by Barbieri-Viale and Kahn) to perfect fields $k$ (without inverting the exponential characteristic). For $k$ transcendental over the prime field we extend a result of Barbieri-Viale and Kahn, showing that ${}^tM$ and ${ m Shv}_1$ have equivalent bounded derived categories.

研究动机与目标

• 将 1-动机与挠的范畴 tM₁ 推广至任意特征的完美域，且不反转指数特征。
• 在完美域上定义 1-动机层 Shv₁^fppf 的积分、fppf-层论版本。
• 在特征为 0 或其素域的超越纯量的完美域上，建立 1-动机层与 1-动机与挠的有界导出范畴之间的等价性。
• 将 1-动机层表征为从离散群概形到半阿贝尔簇对 CE 对象的扩张的态射的余核。

提出的方法

• 将有效 1-动机与挠定义为复形 [u: L → G]，其中 L 属于 CE（即 étale 与有限连通群概形的乘积），G 为半阿贝尔簇。
• 将 tM₁ 定义为在准同构（q.i.）下的有效 1-动机与挠的局部化，其中 q.i. 是指满足 f 的满射且 g 为同源映射，且其核一致的态射。
• 将 Shv₁^fppf 构造为 fppf 层的范畴，其为从离散群概形到 CE 对象与半阿贝尔簇的扩张的态射的余核。
• 通过将 [1] 中的论证扩展至包含非 étale 有限群概形，证明 tM₁ 在任意完美域上为 abelian 范畴。
• 利用存在具有非挠点的半阿贝尔簇的事实，在超越域中构造导出等价。
• 通过将 1-动机层表示为余核并利用 Ext² 群的消失性结果，建立 Db(Shv₁^fppf) ≅ Db(tM₁) 的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不反转指数特征的情况下，于正特征的完美域上积分地定义 1-动机与挠的范畴？
• RQ2 在完美域上，1-动机层范畴在 fppf 网络上是否为积分且 abelian 的？
• RQ3 对于其素域的超越纯量的域，1-动机层与 1-动机与挠之间的导出等价性是否无需反转 p 也成立？
• RQ4 1-动机层能否被表征为从离散群概形到 CE 对象与半阿贝尔簇的扩张的态射的余核？
• RQ5 具有非挠点的半阿贝尔簇在正特征中建立导出等价性时起何作用？

主要发现

• 当在度 -1 中包含有限连通 k-群概形时，1-动机与挠的范畴 tM₁ 在任意完美域 k 上为 abelian 范畴，即使在正特征下亦然。
• 1-动机 fppf 层的范畴 Shv₁^fppf 为 abelian 范畴，并在完美域上提供了积分定义。
• 对于特征为 0 或其素域的超越纯量的完美域 k，存在导出等价性 Db(Shv₁^fppf) ≅ Db(tM₁)，该结果扩展了 [1] 中 3.9.2 节的结果，且无需反转 p。
• 1-动机层可表示为 F = coker(F₁ → F₀)，其中 F₁ 为离散群，F₀ 为 CE 对象与半阿贝尔簇的扩张。
• 证明依赖于有限连通 N 与离散 L 的 Ext²(N, L) 的消失性，以及通过适当离散群的满同态拉回后对 2-重扩张的平凡化。
• 在不反转指数特征的情况下，该导出等价性无法推广至有限域，原因在于缺乏具有非挠点的半阿贝尔簇。