[论文解读] Remarks on Blow-up of Smooth Solutions to the Compressible Fluid with Constant and Degenerate Viscosities

Quansen Jiu, Yuexun Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 34被引用 3

一句话总结

该论文在任意维空间中，针对常数与退化粘性系数的可压缩欧拉与纳维-斯托克斯方程，在较弱初始数据条件下，建立了光滑解的爆破。通过统一的能量型方法与精细的微分不等式，证明了无需假设紧支集或真空初始数据，解在有限时间内发生爆破，并为完整与等熵模型提供了精确的爆破时间估计。

ABSTRACT

In this paper, we will show the blow-up of smooth solutions to the Cauchy problem for the full compressible Navier-Stokes equations and isentropic compressible Navier-Stokes equations with constant and degenerate viscosities in arbitrary dimensions under some restrictions on the initial data. In particular, the results hold true for the full compressible Euler equations and isentropic compressible Euler equations and the blow-up time can be computed in a more precise way. It is not required that the initial data has compact support or contain vacuum in any finite regions. Moreover, a simplified and unified proof on the blow-up results to the classical solutions of the full compressible Navier-Stokes equations without heat conduction by Xin \cite{Xin} and with heat conduction by Cho-Bin \cite{CJ} will be given.

研究动机与目标

• 建立任意空间维数下，常数与退化粘性系数的可压缩纳维-斯托克斯与欧拉方程光滑解的爆破。
• 消除对初始数据紧支集或局部真空存在的限制性假设。
• 为包含与不包含热传导的完整可压缩纳维-斯托克斯方程的爆破结果，提供简化且统一的证明。
• 为等熵与非等熵情形下的爆破时间提供精确估计。
• 将分析扩展至密度依赖粘性系数模型，包括浅水（圣维南）系统。

提出的方法

• 推导势能泛函 $ I(t) $ 及其通过能量估计与微分不等式得到的时间演化。
• 采用改进的能量方法，引入函数 $ IJ(t) = I(t) \cdot J(t) $，其中 $ J(t) $ 为速度的加权 $ L^2 $-范数。
• 实施一种形式为 $ \frac{d}{dt}IJ(t) \leq C_1(t) IJ(t) + C_2(t) IJ(t)^{\frac{\alpha-1}{\gamma-1}} $ 的临界微分不等式，其中系数随时间变化。
• 利用带时间加权指数项的格朗沃尔型不等式，控制 $ IJ(t) $ 的增长，当系数变为负时导致爆破。
• 应用条件 $ \gamma < 1 + \frac{2}{n} $ 与 $ \frac{\gamma+1}{2} < \alpha \leq \gamma $，以确保微分不等式中系数的衰减。
• 通过反证法建立爆破：若解未发生奇点，则 $ I(t) \to 0 $ 的速度过快。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，常数与退化粘性系数的可压缩纳维-斯托克斯方程光滑解会在有限时间内爆破？
• RQ2 是否可在不假设初始数据紧支集或存在局部真空的条件下证明爆破？
• RQ3 如何在等熵与完整可压缩模型中更精确地估计爆破时间？
• RQ4 能否为包含与不包含热传导的完整可压缩纳维-斯托克斯方程的爆破结果构建统一证明？
• RQ5 粘性律的选择（常数与密度依赖）在光滑解爆破行为中起何种作用？

主要发现

• 对于具有常数粘性系数与热传导的完整可压缩纳维-斯托克斯方程，即使初始数据不具紧支集或不含真空，光滑解仍会在有限时间内爆破。
• 在等熵情形下，当 $ \gamma < 1 + \frac{2}{n} $ 时，在较弱初始数据条件下解会在有限时间内爆破。
• 爆破时间通过 $ I(t) \leq C (1+t)^{1-\gamma} \exp\left(-C_{30}/(1+t)^{C_{28}}\right) $（一维）与 $ I(t) \leq C (1+t)^{-n(\gamma-1)} \exp\left(-C_{27}/(1+t)^{C_{28}}\right) $（$ n \geq 2 $）估计，显示快速衰减，暗示奇点形成。
• 该方法为包含与不包含热传导的完整可压缩纳维-斯托克斯方程的爆破结果提供了简化且统一的证明。
• 爆破结果可推广至可压缩欧拉方程与等熵欧拉方程，并给出显式爆破时间估计。
• 分析涵盖粘性系数退化情形 $ h(\rho) = \rho^\alpha $，$ g(\rho) = (\alpha-1)\rho^\alpha $，$ \alpha > 1 - \frac{1}{n} $，并包含浅水模型作为特例。