[论文解读] Remarks on diameter 2 properties

Trond A. Abrahamsen, Vegard Lima+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 18被引用 38

一句话总结

该论文证明了无限维一致代数、具有Daugavet性质的空间以及非平凡M-嵌入空间不仅具有直径2性质，还具有更强的强直径2性质——即单位球中任意有限个相对弱开集的凸组合的直径均为2。此外，该研究还证明了ℓp-和的直径2空间（包括c₀⊕₂c₀）保持强直径2性质，从而将此类空间的已知类别扩展至此前研究的M-结构和L-结构之外的范围。

ABSTRACT

If $X$ is an infinite-dimensional uniform algebra, if $X$ has the Daugavet property or if $X$ is a proper $M$-embedded space, every relatively weakly open subset of the unit ball of the Banach space $X$ is known to have diameter 2, i.e., $X$ has the diameter 2 property. We prove that in these three cases even every finite convex combination of relatively weakly open subsets of the unit ball have diameter 2. Further, we identify new examples of spaces with the diameter 2 property outside the formerly known cases; in particular we observe that forming $\ell_p$-sums of diameter 2 spaces does not ruin diameter 2 structure.

研究动机与目标

• 研究巴拿赫空间ℓp-和是否保持直径2性质。
• 确定强直径2性质是否在无限维一致代数、Daugavet空间等已知类别中成立。
• 探讨此类空间单位球中有限个弱开集的凸组合是否总是具有直径2。
• 识别出超越先前已知M-结构和L-结构案例的新强直径2性质空间类别。

提出的方法

• 作者利用强直径2性质与双对偶中任意有限个弱*-截面的凸组合具有直径2的等价性。
• 他们应用Goldstine定理，将双对偶中的弱*-稠密截面与原空间中的截面联系起来。
• 他们利用M-理想和L-投影的结构，分析双对偶分解X** = Y⊥⊥ ⊕∞ Z⊥。
• 他们使用σ(X,Z)-拓扑和网收敛性，构造出能达到接近直径2范数的凸组合中的点。
• 他们应用Bourgain引理，该引理保证每个非空相对弱开集均包含有限个截面的凸组合。
• 他们证明：若L-投影的像为1-赋范，则强直径2性质可从子空间提升至整个空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有具有直径2性质的巴拿赫空间的ℓp-和是否都具有强直径2性质？
• RQ2 是否可证明无限维一致代数和具有Daugavet性质的空间具有强直径2性质？
• RQ3 当L-投影的像为1-赋范时，强直径2性质是否在M-理想包含关系下保持不变？
• RQ4 非平凡M-嵌入空间的双对偶是否继承强直径2性质？
• RQ5 是否存在超越M-结构和L-结构案例的新巴拿赫空间类别，具有强直径2性质？

主要发现

• 所有无限维一致代数均具有强直径2性质。
• 所有具有Daugavet性质的巴拿赫空间均具有强直径2性质。
• 所有非平凡M-嵌入空间及其双对偶均具有强直径2性质。
• 任意两个具有强直径2性质的巴拿赫空间的ℓp-和也具有强直径2性质，包括c₀⊕₂c₀。
• 即使原始空间不具有M-或L-结构（如c₀⊕₂c₀的情况），强直径2性质在ℓp-和下仍被保持。
• 强直径2性质意味着单位球中任意有限个相对弱开集的凸组合的直径均为2。