[论文解读] Remarks on invariants of hamiltonian loops

Egor Shelukhin|ArXiv.org|May 11, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文建立了复射影空间 $\mathbb{C}P^n$ 上哈密顿环路的非线性 Maslov 指标与 Calabi-Weinstein 不变量之间的比例关系，证实了 Givental 的一个猜想。此外，本文还证明了法诺凯勒流形上混合作用-Maslov 不变量与 Futaki 不变量之间的比例关系，并通过时刻多面体的形心计算了环形流形上的广义作用-Maslov 不变量，相关结果应用于质量线性函数理论。

ABSTRACT

In this note the interrelations between several natural morphisms on the $π_1$ of groups of Hamiltonian diffeomorphisms are investigated. As an application, the equality of the (non-linear) Maslov index of loops of quantomorphisms of prequantizations of $\C P^n$ and the Calabi-Weinstein invariant is shown, settling affirmatively a conjecture by A. Givental. We also prove the proportionality of the mixed action-Maslov morphism and the Futaki invariant on loops of Hamiltonian biholomorphisms of Fano Kahler manifolds, as suggested by C. Woodward. Finally, a family of generalized action-Maslov invariants is computed for toric manifolds via barycenters of their moment polytopes, with an application to mass-linear functions recently introduced by D. McDuff and S. Tolman.

研究动机与目标

• 解决 Givental 关于 $\mathbb{C}P^n$ 上非线性 Maslov 指标与 Calabi-Weinstein 不变量相等性的猜想。
• 验证 C. Woodward 提出的关于法诺凯勒流形上混合作用-Maslov 不变量与 Futaki 不变量之间比例关系的建议。
• 利用时刻多面体的形心计算环形流形上的广义作用-Maslov 不变量。
• 将这些结果应用于 McDuff 与 Tolman 引入的质量线性函数理论。
• 探讨这些不变量在哈密顿群与量子化群中的拓扑与几何意义。

提出的方法

• 本文使用 Seidel 表示法与 Floer 理论分析哈密顿微分同胚群 $\pi_1$ 的拓扑结构。
• 通过辛线性化与沿填充环路的盘的 Maslov 指标计算，定义混合作用-Maslov 同态 $I$。
• 对于环形流形，广义作用-Maslov 不变量通过时刻多面体的形心及在不变子流形上的积分进行计算。
• 通过在底流形上对接触哈密顿量的积分来评估 Calabi-Weinstein 同态。
• 比例关系的证明依赖于在等变上同调中比较耦合类与庞加莱对偶性。
• 利用时刻映射与等变几何，将不变量与时刻多面体各面的积分联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{C}P^n$ 的量子化群的环路中，非线性 Maslov 指标是否等于 Calabi-Weinstein 不变量，如 Givental 所猜想？
• RQ2 在法诺凯勒流形上，混合作用-Maslov 不变量是否与 Futaki 不变量成比例，如 Woodward 所建议？
• RQ3 环形流形上的广义作用-Maslov 不变量是否能通过其时刻多面体的形心来计算？
• RQ4 若环形作用中所有 $I_{\alpha}(\gamma)$ 的值为零，是否意味着 $\gamma$ 是可缩的？
• RQ5 混合作用-Maslov 不变量是否可延拓为非单连通凯勒流形中 $Ham$ 的万有覆盖上的拟同态？

主要发现

• 对于 $\mathbb{C}P^n$ 的量子化群的环路，非线性 Maslov 指标与 Calabi-Weinstein 不变量相等，证实了 Givental 的猜想。
• 在法诺凯勒流形上，混合作用-Maslov 不变量与 Futaki 不变量成比例，验证了 C. Woodward 的建议。
• 环形流形上的广义作用-Maslov 不变量计算结果为 $-(n+1-L)!(B_{n-L} - B_n)$，其中 $B_k$ 为时刻多面体各面的形心。
• 计算表明，该不变量线性依赖于时刻多面体的余维数为 $L$ 的面的形心。
• 这些结果为质量线性函数提供了几何解释，即通过形心与哈密顿环路不变量的联系。
• 本文确立了：对于环形法诺流形，混合作用-Maslov 不变量的消失等价于凯勒-爱因斯坦度量的存在。