[论文解读] Remarks on irregular conformal blocks and Painlevé III and II tau functions

Hajime Nagoya|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 9

一句话总结

本文证明了在维拉索罗代数中，秩为 $ r $ 的不规则顶点算符的存在性与唯一性，引入了具有分支结构的不规则顶点算符，其可产生含 $ z $ 的分数幂的不规则共形块的形式幂级数展开。关键贡献在于，提出了关于第二和第三 Painlevé 方程的 $ \tau $-函数在无穷远处的级数展开的猜想，该展开以这些分支共形块表示，从而将它们与 Argyres-Douglas 理论中的磁性和 dyonic Nekrasov 分区函数联系起来。

ABSTRACT

We prove a conjecture on uniqueness and existence of the irregular vertex operators of rank $r$ introduced in our previous paper. We also introduce ramified irregular vertex operators of the Virasoro algebra. As applications, we give conjectural formulas for series expansions of Painlevé III and II tau functions in terms of our ramified irregular conformal blocks.

研究动机与目标

• 证明关于维拉索罗代数中秩 $ r $ 的不规则顶点算符的存在性与唯一性的猜想。
• 引入一类新的具有分支结构的不规则顶点算符，使得即使在 Virasoro 生成元具有整数指标时，也能在 $ z $ 的展开中出现 $ z^{1/2} $、$ z^{3/2} $ 及更高阶的分数幂。
• 建立具有中心电荷 $ c=1 $ 的分支不规则共形块与第二、第三 Painlevé 方程在无穷远处的 $ \tau $-函数渐近级数展开之间的猜想性联系。
• 通过 $ c=1 $ 对应关系，将这些共形块构造与 Argyres-Douglas 理论中磁性和 dyonic Nekrasov 分区函数联系起来。
• 通过将共形主场的整数参数推广为复数参数，推广了合流主场，从而使其在 Painlevé 超越函数中具有更广泛的应用性。

提出的方法

• 通过验证其对最高权向量的作用关系与交换子关系，严格证明了秩 $ r $ 的不规则顶点算符的存在性与唯一性，从而扩展了此前对秩零情形的结果。
• 通过修改 OPE 结构，引入了具有分支结构的不规则顶点算符，使得即使 Virasoro 生成元 $ L_n $ 保持整数指标，其展开中仍可出现 $ z^{1/2} $、$ z^{3/2} $ 等分数幂。
• 通过这些分支顶点算符的期望值，构造了不规则共形块的形式幂级数展开，使用最高权态 $ |\Lambda\rangle $ 及其作用 $ \Phi^{[r],\lambda}_{\Delta,\Lambda}(z)|\Lambda\rangle = z^{\alpha}e^{\sum \beta_i/z^i}\sum v_m z^m $。
• 应用筛分算符于合流主场，生成了一族由复参数 $ p $ 参数化的无限多个不规则顶点算符，推广了早期基于整数 $ p $ 的构造。
• 猜想这些分支共形块的傅里叶变换将给出第二、第三 Painlevé 方程在无穷远处的 $ \tau $-函数的级数展开，其中中心电荷 $ c=1 $。
• 基于已知的 Painlevé $ \mathrm{II} $ 与 $ \mathrm{III} $ 的微分方程，将共形块展开中的系数与 [BLMST] 中 $ \tau $-函数展开的系数进行匹配，特别涉及 Barnes $ G $-函数与 $ \beta_i $ 的平移。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从其交换子关系与对最高权向量的作用关系，严格证明维拉索罗代数中秩 $ r $ 的不规则顶点算符的存在性与唯一性？
• RQ2 当标准 $ z^n $ 展开因分支奇点而失效时，如何系统地构造在无穷远处的渐近展开所需的不规则共形块？
• RQ3 具有 $ c=1 $ 的分支不规则共形块与第二、第三 Painlevé 方程在无穷远处的 $ \tau $-函数之间存在何种精确关系？
• RQ4 这些分支共形块是否对应于 4D $ \mathcal{N}=2 $ 超对称量子场论中的已知分区函数，如 Argyres-Douglas 理论中的磁性或 dyonic Nekrasov 分区函数？
• RQ5 能否将合流主场中的整数参数 $ p $ 推广为复参数 $ p \in \mathbb{C} $，其对所生成的顶点算符与共形块有何影响？

主要发现

• 已证明关于秩 $ r $ 的不规则顶点算符的存在性与唯一性的猜想，为通过这些算符构造不规则共形块奠定了严格基础。
• 引入了具有分支结构的不规则顶点算符，即使 Virasoro 生成元具有整数指标，仍能产生含 $ z^{1/2} $、$ z^{3/2} $ 等 $ z $ 的分数幂的共形块的形式幂级数展开。
• 给出了第三 Painlevé 方程 $ \tau $-函数在无穷远处的猜想级数展开，其以分支不规则共形块表示，涉及 Barnes $ G $-函数与对 $ n \in \mathbb{Z} $ 的求和，其系数与 [BLMST] 中 $ \mathrm{P_{III}} $ 的展开一致。
• 对第二 Painlevé 方程的 $ \tau $-函数提出了类似的猜想级数展开，涉及 $ (2\pi)^{-\nu-n} $、$ (4\sqrt{2})^{-(\nu+n)^2} $ 与 $ G(1+\nu+n\pm\theta/2) $，并引入一个复参数 $ a $ 满足 $ a^{3/2} = -\sqrt{-2} $。
• 在分支块展开中，相邻 $ \beta_1 $ 系数之间的差值为 4，与 Painlevé $ \mathrm{P_{III}} $ $ \tau $-函数级数中的平移一致，提示存在筛分算符关系。
• 在类型为 $ (0,0,1/2) $ 的分支块中，$ z^{1/2} $ 与 $ z $ 的系数与 [BLMST] 中的 $ D_1(\nu) $、$ D_2(\nu) $ 一致，当 $ \Delta' = (\theta_1 - \theta_2)^2/4 $、$ \beta = 4\nu $、$ \Delta = (\theta_1 + \theta_2)^2/4 $ 且 $ c=1 $ 时。