[论文解读] Remarks on local controllability for the Boussinesq system with Navier boundary condition

Cristhian Montoya|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 10被引用 5

一句话总结

本论文通过仅使用一个控制作用于二维热方程和三维两个标量控制，建立了具有非线性Navier滑移边界条件和内部控制的二维与三维Boussinesq系统的局部精确可控性。关键贡献在于为伴随系统推导出一种新型Carleman估计，结合不动点论证与加权能量不等式，在最小控制假设下实现零可控性。

ABSTRACT

This note deals with the local exact controllability to a particular class of trajectories for the Boussinesq system with nonlinear Navier-slip boundary conditions and internal controls having vanishing components. Briefly speaking, in two dimensions, the local exact controllability property is obtained using only one control in the heat equation, meanwhile two scalar controls are required in three dimensions.

研究动机与目标

• 建立具有非线性Navier滑移与Neumann边界条件的Boussinesq系统对一类轨迹的局部精确可控性。
• 相较于先前结果，减少所需标量控制的数量，特别是在三维情形下。
• 在温度场正则性假设最小的条件下，仅使用一个控制作用于二维热方程，以及两个标量控制作用于三维情形，证明可控性。
• 将现有关于具有Navier滑移条件的Navier-Stokes与Boussinesq系统的零可控性结果，推广至耦合流体-热力系统。

提出的方法

• 推导线性化Boussinesq方程伴随系统的新型Carleman估计，其中权重函数依赖于一个拟凸函数η。
• 在Carleman不等式的背景下，结合加权Sobolev空间与能量估计，以控制解及其导数。
• 应用不动点定理处理非线性边界条件（f(y))tg 和非线性系统中的对流项（y · ∇θ）。
• 构造一个具有特定指数权重的函数空间E，以确保解与控制的可积性与正则性。
• 利用可观测性与可控性之间的对偶性，通过伴随系统将Carleman估计与可控性结果相联系。
• 采用参数化权重函数β(x,t)及其最大/最小版本（β*, bβ），以局部化控制效应并导出强制不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维情形下，是否能仅通过一个控制实现具有Navier滑移条件的Boussinesq系统的局部精确可控性？
• RQ2 在三维情形下，具有Navier滑移与Neumann条件时，实现局部精确可控性所需的最少标量控制数量是多少？
• RQ3 温度场θ的正则性如何影响可控性结果以及Carleman估计的有效性？
• RQ4 用于Navier-Stokes系统的策略能否推广至具有非线性边界条件的Boussinesq系统？
• RQ5 是否可能在非零速度场情形下，实现类似Navier-Stokes系统中N−1控制结果的Boussinesq系统可控性？

主要发现

• 在二维情形下，仅通过一个作用于热方程的控制，在给定边界与正则性条件下，实现了对轨迹的局部精确可控性。
• 在三维情形下，实现局部精确可控性需要两个标量控制，与具有Navier滑移条件的Navier-Stokes系统所需最小数量一致。
• 为伴随系统建立了一种新型Carleman估计，其权重依赖于一个拟凸函数η与指数参数，对λ ≥ λ₀与s ≥ s₀(λ)成立。
• 不等式(7)为伴随系统解提供了关于右端项与局部控制项的全局有界性，从而支持对偶性论证。
• 通过两个不动点定理（一个用于边界非线性，一个用于对流项），将线性化系统的零可控性结果推广至非线性系统。
• 本结果在减少控制数量并扩展框架至具有Navier滑移条件的Boussinesq系统方面，优于先前工作[1]与[13]。