[论文解读] Remarks on Multiplicative Metric Spaces and Related Fixed Points

Kamaleldin Abodayeh, Ariana Pitea+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2015

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文表明，通过自然对数变换，乘法度量空间中的不动点定理可从标准度量空间的相应结果推导得出。通过使用自然对数将乘法度量映射到标准度量，作者证明了乘法压缩映射和公共不动点结果可简化为巴拿赫型压缩映射和标准不动点定理，这意味着乘法度量空间在不动点理论方面并未提供超越经典度量空间中已确立理论的根本性新内容。

ABSTRACT

In this article we studied the relationship between metric spaces and multiplicative metric spaces. Also, we pointed out some fixed and common fixed point results under some contractive conditions in multiplicative metric spaces can be obtained from the corresponding results in standard metric spaces.

研究动机与目标

• 研究乘法度量空间与标准度量空间之间的关系。
• 确定乘法度量空间中的不动点定理是否可从标准度量空间的相应结果推导得出。
• 分析关于乘法压缩映射和公共不动点的定理是否真正新颖，或是否可还原为经典不动点理论。
• 提供一种通过自然对数实现的变换方法，将乘法度量映射到标准度量，从而实现不动点结果的转移。

提出的方法

• 定义标准度量 $ d_p(x,y) = \ln(p(x,y)) $，将乘法度量空间 $ (X,p) $ 转换为标准度量空间 $ (X,d_p) $。
• 利用对数函数的性质，证明 $ (X,d_p) $ 满足所有度量空间公理。
• 应用逆变换 $ p_d(x,y) = e^{d(x,y)} $，证明每个标准度量空间均可诱导出一个乘法度量空间。
• 将乘法压缩条件 $ p(f(x_1),f(x_2)) \leq p(x_1,x_2)^\lambda $ 转换为标准压缩形式 $ d_p(f(x_1),f(x_2)) \leq \lambda d_p(x_1,x_2) $。
• 在 $ (X,d_p) $ 中应用巴拿赫压缩原理，证明乘法压缩映射的不动点存在且唯一。
• 将相同变换应用于乘法度量空间中弱交换映射的公共不动点定理，将其简化为具有上半连续压缩模 $ \phi(t) = \lambda t $ 的 d-度量空间中的已知结果，其中 $ \lambda \in (0, \frac{1}{2}) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从标准度量空间中的等价结果推导出乘法度量空间中的不动点定理？
• RQ2 在不动点理论中，乘法度量空间框架是否与标准度量空间在本质上不同？
• RQ3 乘法度量与标准度量之间的精确数学关系是什么？
• RQ4 对数变换是否在乘法度量空间与标准度量空间之间保持完备性与柯西序列性质？
• RQ5 乘法度量空间中的公共不动点定理能否还原为 d-度量空间或标准度量空间中的已知结果？

主要发现

• 变换 $ d_p(x,y) = \ln(p(x,y)) $ 在乘法度量空间与标准度量空间之间建立了双射关系。
• 序列在 $ (X,p) $ 中为乘法柯西序列，当且仅当其在对应的标准度量空间 $ (X,d_p) $ 中为柯西序列。
• 在完备乘法度量空间中，每个乘法压缩映射均对应于诱导标准度量空间中的巴拿赫压缩映射，从而根据巴拿赫不动点定理保证存在唯一不动点。
• 乘法度量空间中关于弱交换映射的公共不动点结果（定理 2）可还原为具有压缩模 $ \phi(t) = \lambda t $ 的 d-度量空间中的已知结果，其中 $ \lambda \in (0, \frac{1}{2}) $。
• 在乘法设定下定理 2 的证明等价于在标准度量空间中应用推论 2.1，证实了在乘法框架中并未发展出新的不动点理论。
• 本研究得出结论：乘法度量空间并未产生超越标准度量空间中已有结果的新型不动点结果，研究人员应避免在此领域进行重复性工作。