[论文解读] Remarks on Nehari's problem, matrix $A_2$ condition, and weighted bounded mean oscillation

Alexander Volberg, Peter Yuditskii|ArXiv.org|Mar 15, 2008

Holomorphic and Operator Theory参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文通过引入生成函数 $\phi$ 在 $H^\infty$-参数化解中的正则性新充分条件，解决了非唯一解情形下的Nehari问题。该条件将正则性与加权有界变差振荡及矩阵 $A_2$ 条件联系起来，证明了若 $\phi$ 满足关于 $|f - \langle f\rangle_I|^2 / (1 - |f|^2)$ 的某种 $A_2$-型条件，则相应的 Hankel 算子的范数小于 1。关键贡献在于：当 $w \in A_2$ 时，通过调和延拓与 Toeplitz 算子可逆性，直接证明了 $w_c = (1 - |\phi_c|^2)/|1 - \phi_c|^2$ 的 Herglotz 表示中不存在奇异部分，从而建立了一种基于调和延拓与 Toeplitz 可逆性的正则性新判据。

ABSTRACT

We consider Nehari's problem in the case of non-uniqueness of solution. The solution set is then parametrized by the unit ball of $H^{\infty}$ by means of so-called {\em regular generators} -- bounded holomorphic functions $ϕ$. The definition of {\em regularity} is given below, but let us mention now that 1) the following assumption on modulus of $ϕ$ is sufficient for {\em regularity}: $\frac{1}{1-|ϕ|^2}\in L^1(\mathbb{T})$; 2) there is no necessary and sufficient condition of {\em regularity} on bounded holomorphic $ϕ$ in terms of $|ϕ|$ on $\mathbb{T}$, \cite{Kh1}. This makes reasonable the attempt to find a weaker sufficient condition on $|ϕ|$ than the condition in 1). This is done here. Also we are discussing certain new necessary and sufficient conditions of {\em regularity} in terms of bounded mean (weighted) oscillations of $ϕ$. They involve the matrix $A_2$ condition from \cite{TV}.

研究动机与目标

• 刻画当解非唯一时 Nehari 问题的正则解。
• 在 $1/(1 - |\phi|^2) \in L^1$ 之外，识别出比其更弱的 $|\phi|$ 在 $\mathbb{T}$ 上的充分条件，以保证生成函数 $\phi$ 的正则性。
• 以加权有界变差振荡（BMO）与矩阵 $A_2$ 条件为框架，建立正则性的必要与充分条件。
• 提供一种独立于 Arov-Dym 理论的直接证明，表明当 $w \in A_2$ 时，$w_c = (1 - |\phi_c|^2)/|1 - \phi_c|^2$ 的 Herglotz 表示中不存在奇异部分。

提出的方法

• 使用满足 $\|\phi\|_\infty \leq 1$、$\int_\mathbb{T} \log(1 - |\phi|) \, dm > -\infty$ 且 $\phi(0) = 0$ 的有界解析函数 $\phi \in H^\infty$ 参数化 Nehari 问题的解集。
• 引入酉矩阵 $\mathcal{S}_\phi = \begin{bmatrix} \phi & \psi \\ \psi & f_0 \end{bmatrix}$，其中 $\psi$ 是通过 $\log(1 - |\phi|^2)$ 的 Herglotz 积分定义的外函数，且 $f_0 = -\bar{\phi}\psi / \bar{\psi}$。
• 在 $f = \phi$ 上定义一种加权 $A_2$-型条件，形式为 $\sup_I \frac{1}{|I|} \int_I \frac{|f - \langle f\rangle_I|^2 + (1 - |\langle f\rangle_I|^2)}{1 - |f|^2} \, dm < \infty$，该条件可保证 Hankel 算子 $\Gamma x = P_-(f x)$ 满足 $\|\Gamma\| < 1$。
• 利用 $w = (1 - |\phi|^2)/|1 - \phi|^2$ 的 Herglotz 表示，证明若 $w \in A_2$，则对任意实数 $c$，$w_c = (1 - |\phi_c|^2)/|1 - \phi_c|^2$ 的 Herglotz 分解中无奇异部分，该结论通过调和延拓与 Toeplitz 可逆性获得。
• 证明 $\Gamma_{\bar{g}_c / g_c} = e^{-ic} \Gamma_{\bar{g}_0 / g_0}$，其中 $g_c = (1 - \phi_c)/\psi$，并利用 Helson-Szegő 定理表明当 $|g_0|^2 \in A_2$ 时 $\|\Gamma_{\bar{g}_0 / g_0}\| < 1$，从而推出 Toeplitz 算子的可逆性。
• 通过证明 $1/g_c \in H^2$ 且 $g_c$ 是满足 $|h|^2 \in A_2$ 的 $H^2$ 函数的常数倍，建立 $|1 - \phi_c|^2 / (1 - |\phi|^2) \in A_2$，从而将 $A_2$ 条件与 $\phi$ 的正则性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $1/(1 - |\phi|^2) \in L^1$ 之外，$|\phi|$ 在 $\mathbb{T}$ 上的何种更弱充分条件可确保 Nehari 问题解生成器 $\phi$ 的正则性？
• RQ2 能否利用矩阵 $A_2$ 条件，通过 $f = \phi$ 的加权有界变差振荡来刻画 $\phi$ 的正则性？
• RQ3 若 $w \in A_2$，是否可推出 $w_c = (1 - |\phi_c|^2)/|1 - \phi_c|^2$ 的 Herglotz 表示中无奇异部分？
• RQ4 若 $f = \phi$ 满足 $A_2$-型条件 $\sup_I \frac{1}{|I|} \int_I \frac{|f - \langle f\rangle_I|^2 + (1 - |\langle f\rangle_I|^2)}{1 - |f|^2} \, dm < \infty$，是否可保证 Hankel 算子范数 $\|\Gamma\| < 1$？
• RQ5 能否通过由 $g_c = (1 - \phi_c)/\psi$ 导出的单位模符号的 Toeplitz 算子可逆性来刻画 $\phi$ 的正则性？

主要发现

• 对 $f = \phi$，若满足条件 $\sup_I \frac{1}{|I|} \int_I \frac{|f - \langle f\rangle_I|^2 + (1 - |\langle f\rangle_I|^2)}{1 - |f|^2} \, dm < \infty$，则 Hankel 算子 $\Gamma x = P_-(f x)$ 满足 $\|\Gamma\| < 1$，从而保证 $\phi$ 生成 Nehari 问题的正则解。
• 若 $w = (1 - |\phi|^2)/|1 - \phi|^2 \in A_2$，则其调和延拓可导出一个满足 $\|\phi\|_\infty \leq 1$ 的函数 $\phi \in H^\infty$，且对任意实数 $c$，其对应的 $w_c = (1 - |\phi_c|^2)/|1 - \phi_c|^2$ 在 Herglotz 分解中无奇异部分，表明 $w_c$ 为纯绝对连续。
• $g_c = (1 - \phi_c)/\psi$ 满足 $g_c \in H^2$，且 Hankel 算子 $\Gamma_{\bar{g}_c / g_c}$ 的范数小于 1，这意味着 Toeplitz 算子 $T_{\bar{g}_c / g_c}$ 可逆。
• 恒等式 $\Gamma_{\bar{g}_c / g_c} = e^{-ic} \Gamma_{\bar{g}_0 / g_0}$ 成立，且由于 $|g_0|^2 \in A_2$ 可推出 $\|\Gamma_{\bar{g}_0 / g_0}\| < 1$（由 Helson-Szegő 定理），范数条件在旋转下保持不变。
• $1/g_c = \psi / (1 - \phi_c)$ 属于 $H^2$，且由于 $1/|g_c|^2 = \operatorname{Re} \left( \frac{1 + \phi_c}{1 - \phi_c} \right)$ 的实部为正，可推出 $|1 - \phi_c|^2 / (1 - |\phi|^2) \in A_2$，从而提供一种新的基于 $A_2$ 的正则性判据。
• 在 $w_c$ 的 Herglotz 表示中无奇异部分，等价于 $w_c$ 均匀属于 $A_2$，该结论通过 $T_{\bar{g}_c / g_c}$ 的可逆性及 $g_c$ 是满足 $|h|^2 \in A_2$ 的 $H^2$ 函数的常数倍这一事实得以确立。