[论文解读] Remarks on nonrelativistic Goldstone bosons

Anton Kapustin|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2012

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 7被引用 29

一句话总结

本文通过识别在时间反演对称性被微弱破坏时与真实Goldstone玻色子共存的“准Goldstone玻色子”（gapped modes），对非相对论性Goldstone玻色子的有效场论方法进行了改进。证明了Goldstone玻色子与准Goldstone玻色子的总数等于被自发破缺的生成元数量 $ N $，其计数由对易子矩阵 $ B $ 的秩决定，通过将Type A Goldstone玻色子成对组合为Type B Goldstone玻色子和准Goldstone玻色子，为Watanabe-Brauner计数规则提供了物理解释。

ABSTRACT

We discuss excitations in nonrelativistic field theories with spontaneous breaking of a continuous global symmetry. It is known that in such systems there are two types of Goldstone bosons (Type A and Type B) whose dispersion law is generically linear or quadratic, respectively. We show that Type B Goldstone bosons may have gapped partners which we call almost-Goldstone bosons. With some nondegeneracy assumption about the low-energy effective action, the total number of Goldstone and almost-Goldstone bosons adds up to the number of broken symmetry generators. We propose that deviations of the dispersion law of Goldstone bosons from linearity at small momenta may serve as a signature of small breaking of time-reversal symmetry.

研究动机与目标

• 澄清非相对论性系统中自发破缺连续对称性时，Type I (A) 与 Type II (B) Goldstone玻色子的起源与计数问题。
• 识别并表征在时间反演对称性被轻微破坏时出现在有效作用量中的能隙‘准Goldstone玻色子’。
• 提供一种物理机制——将两个Type A Goldstone玻色子配对形成一个Type B Goldstone玻色子与一个准Goldstone玻色子——以解释基于秩的计数规则 $ n_A = N - \text{rank}\,B $, $ n_B = \frac{1}{2}\text{rank}\,B $。
• 证明在目标空间度量非简并的条件下，无能隙与能隙模式的总数等于被破缺的生成元数 $ N $。

提出的方法

• 为序参量场 $ \phi $ 构建一个一阶有效作用量，包含一阶与二阶时间导数项，通过在 $ A_i $ 项中引入空间导数依赖，推广了先前的方法。
• 引入正则变换以重新定义共轭动量，将作用量转化为标准哈密顿形式，其中哈密顿密度涉及逆度量 $ G^{ij} $ 和一个类似规范场的项 $ A_i $。
• 在常数真空中将哈密顿量展开至二次项，得到一个关于涨落的二次型，其矩阵结构包含 $ B_{ik}(-i\nabla) $ 与 $ \Omega^2_{ij}(-i\nabla) $。
• 在动量空间中分析该二次哈密顿量的谱，识别出两类模式：无能隙Goldstone模式（Type A）与有能隙的准Goldstone模式（Type B），其色散关系由 $ B $ 矩阵与 $ \Omega^2 $ 算符的本征值决定。
• 建立准Goldstone玻色子数量为 $ \frac{1}{2}\text{rank}\,B $，并证明每对Type A Goldstone玻色子可结合为一个Type B Goldstone玻色子与一个准Goldstone玻色子，从而解释Watanabe-Brauner公式。
• 考虑对称性约束，表明若时间反演对称性为精确成立，则Type B Goldstone玻色子被禁止；但当其被微弱破坏时，此类玻色子成为普遍存在，其色散关系偏离线性行为可作为此类破坏的信号。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准Goldstone模式之外，为何有效作用量中会出现数量为 $ \frac{1}{2}\text{rank}\,B $ 的‘准Goldstone玻色子’？
• RQ2 成对机制（即两个Type A Goldstone玻色子形成一个Type B Goldstone玻色子与一个准Goldstone玻色子）如何解释Watanabe-Brauner计数规则？
• RQ3 为何当时间反演对称性精确成立时，Type B Goldstone玻色子不存在？其出现如何表征该对称性的微小破坏？
• RQ4 在一维空间中，当 $ B $ 矩阵非零但零模为非物理时，有效作用量的物理诠释是什么？
• RQ5 当对称性被破缺为对角子群或完全破缺时，特别是对于紧致半单群，Type B Goldstone玻色子在何种条件下可以存在？

主要发现

• 在目标空间度量非简并的条件下，有效作用量不仅包含无能隙Goldstone玻色子，还包含数量为 $ \frac{1}{2}\text{rank}\,B $ 的有能隙‘准Goldstone玻色子’。
• 物理模式总数（Goldstone与准Goldstone玻色子之和）等于被破缺的生成元数 $ N $，确认了低能谱中模式的完整计数。
• 每对Type A Goldstone玻色子可配对形成一个Type B Goldstone玻色子与一个准Goldstone玻色子，此类配对数量为 $ \text{rank}\,B $，为Watanabe-Brauner公式提供了物理机制。
• Type B Goldstone玻色子的色散关系为 $ \epsilon(\mathbf{q}) = K_{\alpha\beta}\mathbf{q}^\alpha\mathbf{q}^\beta + \cdots $，而准Goldstone模式的色散关系为 $ \epsilon(\mathbf{q}) = 2b(0) + K_{\alpha\beta}\mathbf{q}^\alpha\mathbf{q}^\beta + \cdots $，其中常数项 $ 2b(0) $ 表明其具有能隙。
• 在小动量区域出现的色散关系偏离线性行为（特别是二次依赖）是时间反演对称性被微小破坏的信号，该破坏允许Type B Goldstone玻色子的出现。
• 在一维空间中，作用量可描述右行粒子，其色散关系为 $ \epsilon(\mathbf{q}) = \mathbf{q}^m $，尽管零模为非物理，但理论仍保持一致，并描述了一个‘Type A’系统，即使不存在真正的Goldstone模式。