[论文解读] Remarks on Ruelle Operator and invariant line fields problem II

Peter Makienko|ArXiv.org|Oct 25, 2001

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用 9

一句话总结

该论文通过Ruelle算子理论和拟共形形变技术，证明了若有理映射在Julia集中存在一个可求和的临界点，则其不能是结构稳定的。关键结果表明此类映射是不稳定的，并进一步证明在可求和性与完全不变区域条件下，Julia集上不存在不变线场。

ABSTRACT

Let R be rational map. Critical point c is called summable if series $\sum_i\frac{1}{(R^i)'(R(c))}$ is absolutely convergent. Under some topological condition on postcritical set we prove that R can not be structurally stable if summable critical point $c \in J(R)$.

研究动机与目标

• 证明具有Julia集中可求和临界点的有理映射不是结构稳定的。
• 通过可求和性条件和Ruelle算子理论，扩展关于不变线场问题的结果。
• 在可求和性和完全不变区域假设下，为Julia集上不变线场的不存在性提供一种新方法。
• 利用可求和性和拟共形形变技术，将先前关于多项式映射的结果推广到有理映射。
• 建立某一特定级数非零与有理映射结构不稳定性之间的联系。

提出的方法

• 使用Ruelle算子及其通过临界轨道可求和性构造的不动点。
• 应用拟共形形变理论分析形变空间 $ qc(R) $ 的维数，与 $ 2\deg(R) - 2 $ 进行比较。
• 引入全纯向量场空间 $ H^1(R) $ 以描述有理映射的无穷小形变。
• 使用Bers算子 $ B_R $ 分析Beltrami微分及其不动点，刻画拟共形形变。
• 应用广义Mergelyan型逼近和Fubini定理，证明某些 $ L^1 $-函数几乎处处为零。
• 使用Möbius映射的共轭论证分析可求和性在共轭下的不变性，表明其不被保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 在后临界集和临界轨道可求和性满足何种条件下，有理映射是结构不稳定的？
• RQ2 对于满足 $ c \in J(R) $ 的有理映射，级数 $ \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(R^i)'(R(c))} $ 的非零性是否能推出结构不稳定性？
• RQ3 Julia集中存在一个可求和临界点是否排除了不变线场的存在？
• RQ4 可求和性条件如何影响拟共形形变空间 $ qc(R) $ 的维数？
• RQ5 Ruelle算子方法在多大程度上为研究有理动力系统中不变线场提供了新方法？

主要发现

• 若有理映射 $ R $ 在 $ J(R) $ 中存在一个可求和临界点 $ c $，且 $ \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(R^i)'(R(c))} \neq 0 $，则 $ R $ 不是结构稳定的。
• 在可求和性条件下，拟共形形变空间 $ qc(R) $ 的维数严格小于 $ 2\deg(R) - 2 $，与结构稳定性矛盾。
• 对于具有完全不变区域且所有临界点在 $ J(R) $ 中可求和的有理映射 $ R $，在 $ J(R) $ 上不存在不变线场。
• 与Ruelle算子相关的算子 $ \beta $ 的像位于一个余维数至少为一的子空间中，若系统线性相关，则意味着 $ J_R = \emptyset $。
• 由方程组构造的函数 $ \alpha(z) = \sum B_i A(z, R, R(c_i)) $ 几乎处处在 $ \mathbb{C} $ 上为零，若系统线性相关，则与可求和性条件矛盾。
• 证明依赖于表明测度 $ \sum_i B_i \sum_n \frac{\delta_{R^n(R(c_i))}}{(R^n)'(R(c_i))} = 0 $，这与定义 $ W $ 中条件 (2) 下的可求和级数的绝对收敛性矛盾。