[论文解读] Remarks on separating words

Erik D. Demaine, Sarah Eisenstat+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2011

semigroups and automata theory参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文研究分离词问题，旨在确定区分两个长度不超过 n 的不同二进制词所需的最小确定性有限自动机（DFA）大小。研究证明了对于 k ≥ 2，最坏情况下的分离复杂度 S(n) 与字母表大小无关，建立了确定性和非确定性自动机的新下界和上界，并探讨了 2DPDA 和置换自动机等变体，表明 2DPDA 可以使用 O(log n) 个状态分离词，并揭示了对称群中相同关系的结构约束。

ABSTRACT

The separating words problem asks for the size of the smallest DFA needed to distinguish between two words of length <= n (by accepting one and rejecting the other). In this paper we survey what is known and unknown about the problem, consider some variations, and prove several new results.

研究动机与目标

• 确定 S(n) 的紧致上下界，即任何长度不超过 n 的不同词对使用 DFA 分离所需的最多状态数。
• 研究分离复杂度是否依赖于字母表大小，证明当 k ≥ 2 时其保持不变。
• 分析问题的变体，包括非确定性自动机、2DPDA 和置换自动机。
• 探讨由所有群同态下的词等价性所引出的对称群中相同关系的结构。

提出的方法

• 使用数论工具，例如存在一个素数 p ≤ 4.4 log n，使得对所有 i ≠ j 有 i ≢ j (mod p)，以构造能分离不同长度词的小型 DFA。
• 应用交叉积构造法和最小化算法，以界定 DFA 分离词对的区分词长度。
• 利用 Chrobak 的单字母 NFA 结构定理，推导出非确定性分离复杂度的界限。
• 通过基于栈的计数模拟输入位置上的二分查找，构造一个使用 O(log n) 个状态的 2DPDA。
• 通过字母表约化将更大字母表上的词对分离问题转化为二进制词对问题，同时保持分离复杂度不变。
• 通过研究满足对所有同态 σ: {0,1}* → S_n 都有 σ(w) = σ(x) 的词 w, x，分析 S_n 中的相同关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 S(n)，即使用 DFA 分离任意两个长度不超过 n 的不同词对所需的最大状态数，其渐近增长趋势如何？
• RQ2 分离复杂度是否依赖于输入字母表的大小？若不依赖，原因是什么？
• RQ3 我们能否改进非确定性分离（nsep(w,x)）的已知上下界？
• RQ4 分离两个长度为 n 的不同词对，所需的最小 2DPDA 大小是多少？
• RQ5 S_n 中最短的非平凡相同关系是什么？即一个在 {0,1,0⁻¹,1⁻¹} 上的词 y，使得对所有同态 σ 都有 σ(y) = 单位元？

主要发现

• S(n) = S₂(n)，意味着当 k ≥ 2 时，分离复杂度与字母表大小无关，因为任意 k 元词对均可约化为具有等价分离成本的二进制词对。
• 对于长度不同的词，sep(w,x) = O(log n)，且该界是紧致的，因为存在需要 Ω(log n) 个状态的词对。
• S(n) 的最佳已知上界仍为 O(n²/⁵ (log n)³/⁵)，由 Robson 建立，本文未证明更优的界。
• 2DPDA 可以通过基于栈的计数模拟输入位置上的二分查找，使用 O(log n) 个状态分离任意两个长度为 n 的不同词对。
• 对于单字母 NFA，证明了确定性与非确定性分离复杂度之比的下界为 Ω(√log |x|)。
• S_n 中最短的非平凡相同关系的长度为 2^O(√n log n)，由 Gimadeev 和 Vyalyi 证明，且对 n=4 存在一个长度为 11 的具体例子。