[论文解读] Remarks on solitary waves and Cauchy problem for a Half-wave-Schrödinger equations

Yakine Bahri, Slim Ibrahim+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文在二维空间中建立了半波-薛定谔方程的基态孤立波的存在性与轨道稳定性，证明了当速度趋近于1时趋于零的行波解的存在性，并在临界正则性范围内，利用变分法与压缩映射论证，解决了初始数据属于 $L^2_x H^s_y(\bbR^2)$ 且 $s > 1/2$ 的柯西问题。

ABSTRACT

In this paper, we study the solitary wave and the Cauchy problem for Half-wave-Schrödinger equations in the plane. First, we show the existence and orbital stability of the ground states. Secondly, we prove that traveling waves exist and converge to zero as the velocity tends to $1$. Finally, we solve the Cauchy problem for initial data in $L^{2}_{x}H^{s}_{y}(\mathbb{R}^{2})$, with $s>\frac{1}{2}$.

研究动机与目标

• 通过在混合索伯列夫空间中进行约束极小化，建立半波-薛定谔方程基态解的存在性。
• 利用集中紧致性原理与 Cazenave 和 Lions 的方法，证明基态解轨道的稳定性。
• 研究行波解的存在性及其在速度趋近于相对论极限 1 时的渐近行为。
• 在临界正则性空间 $L^2_x H^s_y(\bbR^2)$ 中解决柯西问题的局部适定性，其中 $s > 1/2$，尽管方程具有非标准的标度性和能量空间。

提出的方法

• 通过在约束 $\mathcal{N}_\omega(u) = 0$ 下极小化泛函 $\mathcal{S}_\omega(u)$，利用椭圆方程 (1.3) 的变分结构，构造了基态 $Q_\rho$ 作为极小化元。
• 应用集中紧致性原理与 Cazenave 和 P.-L. Lions 的方法，在 $L^2$-次临界情形（$1 < p < 7/3$）下证明了基态轨道的轨道稳定性。
• 通过尺度变换与隐函数定理，证明了行波解 $\psi(t,x,y) = e^{i\omega t}Q_\omega(x - vt, y)$ 的存在性，且当 $v \to 1^-$ 时其衰减至零。
• 通过在合适函数空间中使用压缩映射论证，结合 Strichartz 估计与初始数据范数的小时间依赖性，建立了在 $L^2_x H^s_y(\bbR^2)$ 中 $s > 1/2$ 的局部适定性。
• 利用傅里叶乘子理论与 Lizorkin 及 Esfahani 等人所得的正则性结果，证明了基态 $Q_\omega$ 属于能量空间 $X = H^1_x L^2_y \cap L^2_x H^{1/2}_y(\bbR^2)$。
• 利用 Brezis-Lieb 引理与紧致性工具，处理了极小化序列的收敛性，并在几乎处处逐点收敛下验证了 $|u_n|^{p+1}$ 在 $L^1$ 中的强收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\bbR^2$ 中，对于 $1 < p < 5$，半波-薛定谔方程是否存在非平凡的基态孤立波解？
• RQ2 在 $L^2$-次临界情形下，基态解的轨道是否在方程流下保持轨道稳定性？
• RQ3 行波解是否存在？当速度趋近于 1 时其行为如何？
• RQ4 对于初始数据属于 $L^2_x H^s_y(\bbR^2)$ 且 $s > 1/2$ 的情形，柯西问题是否局部适定？
• RQ5 基态解在各向异性能量空间 $X$ 中的正则性与衰减行为如何？

主要发现

• 对于 $1 < p < 5$ 且 $\omega > 0$，存在非平凡基态 $Q_\omega \in X$，其为泛函 $\mathcal{S}_\omega(u)$ 在约束 $\mathcal{N}_\omega(u) = 0$ 下的极小化元，通过变分法证明了其存在性。
• 在 $L^2$-次临界情形（$1 < p < 7/3$）下，轨道 $\mathcal{O}_\omega = \{ e^{i\theta} Q_\omega(\cdot + \tau_1, \cdot + \tau_2) \}$ 在空间 $X$ 中是轨道稳定的。
• 对于所有速度 $v \in (0,1)$，行波解存在，且满足 $\|Q_v\|_{X} \to 0$ 当 $v \to 1^-$，表明在相对论极限下振幅趋于零。
• 柯西问题 (1.1) 在 $L^2_x H^s_y(\bbR^2)$ 中对于 $s > 1/2$ 局部适定，最大存在时间 $T$ 连续依赖于初始数据的范数。
• 基态 $Q_\omega$ 属于能量空间 $X$，其正则性通过傅里叶乘子估计及 Lizorkin 的乘子定理在 $L^2$ 有界性中的应用得以确立。
• 当 $p > 7/3$ 时，函数 $R_1 = \partial_\omega Q_\omega|_{\omega=1}$ 属于 $L^2(\bbR^2)$，这对证明基态在尺度变换下的正则性至关重要。