[论文解读] Remarks on Springer's representations

G. Lusztig|ArXiv.org|Nov 3, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文建立了施普林格关于威尔群的表示与吕斯蒂格的 $ T^p_W $-系之间的精确对应关系，证明了对于所有有限威尔群及坏素数，来自施普林格对应关系的单连通特征标集合 $ S_g $ 恰好与由广义格林函数导出的不可约表示集合 $ T^p_W $ 一致。该结果通过已知特征标公式与归纳法逐案验证，解决了有限李型群表示理论中的一个关键结构性问题。

ABSTRACT

We give an apriori description of a set of irreducible representations of a Weyl group which parametrize the nilpotent orbits in the Lie algebra of a connected reductive group in arbitrary characteristic. We also answer a question of Serre concerning the conjugacy class of a power of a unipotent element in a connected reductive group.

研究动机与目标

• 建立有限李型群的单连通表示 $ S_g $ 与吕斯蒂格定义的 $ T^p_W $-系之间的精确匹配。
• 验证当对应代数群 $ G $ 的素数 $ p $ 为坏素数时，所有威爾群均有 $ S_g = T^p_W $。
• 通过显式特征标描述与归纳法，将已知的 $ S_g = T^p_W $ 等式从好素数推广至坏素数。
• 解决例外型（如 $ E_8 $、$ F_4 $）在坏素数下 $ S_g $ 的结构问题，其中 $ S_g $ 严格包含 $ S_G $。
• 确认 $ T^p_W $ 的组合与表示论定义在所有情况下均与几何施普林格对应关系一致。

提出的方法

• 对每个威爾群 $ W $，通过吕斯蒂格（1986, 1987）工作中的映射 $ j_W^J_W $ 进行归纳计算 $ T^p_W $。
• 以 $ S^1_W $（好素数下的单连通特征标）作为归纳的基底。
• 应用吕斯蒂格（1986, 1987）给出的 $ j_W^J_W $ 显式公式，以及阿夫里斯（1987）中例外型的表格。
• 对于坏素数，使用斯帕尔滕斯坦对 $ S_g $ 的显式描述，其以 $ ext{Irr}(W) $、$ ilde{C}_k^n $、$ ilde{D}_k^n $ 或特定特征标表示。
• 在所有类型 $ B_n, C_n, D_n, G_2, F_4, E_6, E_7, E_8 $ 上，对坏素数 $ p $ 逐案比较 $ S_g $ 与 $ T^p_W $。
• 通过检查 $ S_g ackslash S_G $ 是否与 $ T^p_W ackslash T^1_W $ 匹配来验证等式，使用特征标次数（如 $ b_{50_x} = 8 $，$ b_{700_{xx}} = 16 $）。

实验结果

研究问题

• RQ1 当对应代数群的素数 $ p $ 为坏素数时，$ S_g = T^p_W $ 是否对所有威爾群均成立？
• RQ2 在例外型中，坏素数下施普林格表示 $ S_g $ 与 $ S_G $ 的差异为何？
• RQ3 即使在坏素数下，是否能通过归纳法与已知映射 $ j_W^J_W $ 统一计算 $ T^p_W $-系？
• RQ4 在 $ p=2 $ 时，$ B_n, C_n, D_n $ 型中 $ S_g $ 的精确组合描述为何？
• RQ5 在 $ S_g \backslash S_G $ 中额外的单连通特征标（如 $ E_8 $ 中的 $ 50_x, 700_{xx} $）的特征标次数是否与 $ T^p_W $ 中的一致？

主要发现

• 当 $ G $ 为 $ C_n $ 型（$ p=2 $）时，$ S_g = \text{Irr}(W) $，且与 $ T^p_W $ 一致。
• 当 $ G $ 为 $ B_n $ 型（$ p=2 $）时，$ S_g = \{[a_*,a'_*] \in \text{Irr}(W) \mid (a_*,a'_*) \in \tilde{C}_k^n \} $，且等于 $ T^p_W $。
• 当 $ G $ 为 $ D_n $ 型（$ p=2 $）时，$ S_g = \zeta^{-1}(\tilde{D}_k^n) $，且与 $ T^p_W $ 一致。
• 当 $ G $ 为 $ F_4 $ 型（$ p=2 $）时，$ S_g = S_G \sqcup \{1_3, 2_3\} $，且 $ b_{1_3} = 12 $，$ b_{2_3} = 4 $，与 $ T^p_W $ 一致。
• 当 $ G $ 为 $ E_8 $ 型（$ p=2 $）时，$ S_g = S_G \sqcup \{50_x, 700_{xx}\} $，且 $ b_{50_x} = 8 $，$ b_{700_{xx}} = 16 $，与 $ T^p_W $ 一致。
• 在所有情况下，施普林格与斯帕尔滕斯坦给出的 $ S_g $ 显式描述均与 $ T^p_W $ 的归纳构造一致，从而确认了 $ S_g = T^p_W $。