[论文解读] Remarks on the Cayley-Hamilton Theorem

Letterio Gatto, Inna Scherbak|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文通过在外部代数上使用 Hasse–Schmidt 导子，重新诠释了 Cayley-Hamilton 定理，表明自同态在外部幂上的迭代作用满足由特征多项式决定的线性递推关系。主要贡献在于，以特征多项式的逆表示了这些作用的生成函数的精确公式，推广了经典定理，并将其与特征零环中矩阵指数的 Putzer 方法联系起来。

ABSTRACT

We revisit the classical theorem by Cayley and Hamilton, "{\em each endomorphism is a root of its own characteristic polynomial}", from the point of view of {\em Hasse--Schmidt derivations on an exterior algebra}

研究动机与目标

• 通过外部代数上的 Hasse–Schmidt 导子框架，重新表述经典 Cayley-Hamilton 定理。
• 通过证明诱导在外部幂上的自同态满足由特征多项式决定的线性递推关系，推广 Cayley–Hamilton 定理。
• 建立自同态在外部代数上迭代作用的生成函数公式，以特征多项式的逆的有理函数形式表达。
• 将所得递推关系与计算矩阵指数的 Putzer 方法联系起来，特别是在包含 ℚ 的环中。
• 基于特征多项式的逆，为 A[[t]] 上的线性常微分方程提供形式解的基，从而实现矩阵指数的显式计算。

提出的方法

• 在外部代数 $\bigwedge M$ 上定义唯一的 $A$-线性取值的幂级数 $\mathbf{f}(t) = \sum_{j \geq 0} f_j t^j $，使其与楔积相容，并将 $M$ 上的自同态 $f$ 扩展至该代数。
• 引入特征多项式 $\det(\mathbbm{1}_M t - f) = t^r - e_1 t^{r-1} + \cdots + (-1)^r e_r$，其中系数 $e_j$ 属于环 $A$。
• 证明序列 $\{f_k\}$ 在每个 $\bigwedge^{r-j+1}M$ 上满足一个阶数为 $j$ 的线性递推关系，其系数由初等对称函数 $e_1, \dots, e_j$ 给出。
• 定义算子 $\mathrm{U}_i(\mathbf{f}) = f_i - e_1 f_{i-1} + \cdots + (-1)^r e_r f_{i-r}$，其中 $f_k = 0$ 对于 $k < 0$，以将生成函数表示为 $\mathbf{f}(t) = \frac{\sum_{i=0}^{r-1} \mathrm{U}_i(\mathbf{f}) t^i}{E_r(t)}$，其中 $E_r(t) = \det(\mathbbm{1}_M - f t)$。
• 利用形式拉普拉斯变换及其逆，将生成级数 $\sum f_n \frac{t^n}{n!}$ 与由特征多项式导出的常系数线性常微分方程的解联系起来。
• 证明当 $A$ 是 $\mathbb{Q}$-代数时，矩阵指数 $\exp(ft)$ 可显式表示为 $\mathbbm{1}_M, f, \dots, f^{r-1}$ 的线性组合，其系数为该常微分方程的形式幂级数解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用代数结构将 Cayley–Hamilton 定理从原始模的作用推广到其外部幂？
• RQ2 生成函数 $\mathbf{f}(t)$ 在外部代数 $\bigwedge M$ 上的作用结构如何用特征多项式表达？
• RQ3 能否显式地用特征值的初等对称函数描述外部幂 $\bigwedge^j M$ 上迭代自同态 $f_k$ 所满足的递推关系？
• RQ4 形式拉普拉斯变换如何将 $f_k$ 的生成函数与由特征多项式系数构成的线性常微分方程的解联系起来？
• RQ5 在包含 $\mathbb{Q}$ 的环上，该代数框架在多大程度上可用来改进和推广 Putzer 的矩阵指数计算方法？

主要发现

• 序列 $\{f_k\}$ 在每个 $\bigwedge^{r-j+1}M$ 上满足一个阶数为 $j$ 的线性递推关系，其系数为初等对称函数 $e_1, \dots, e_j$，从而推广了经典 Cayley–Hamilton 定理。
• 生成函数 $\mathbf{f}(t)$ 表示为有理函数：$\mathbf{f}(t) = \frac{\sum_{i=0}^{r-1} \mathrm{U}_i(\mathbf{f}) t^i}{E_r(t)}$，其中 $E_r(t) = \det(\mathbbm{1}_M - f t)$。
• 对每个 $j = 1, \dots, r$，$\mathbf{f}(t)$ 在 $\alpha \in \bigwedge^{r-j+1}M$ 上的作用由涉及 $\mathrm{U}_0(\mathbf{f}), \dots, \mathrm{U}_{j-1}(\mathbf{f})$ 的截断有理表达式给出。
• 当 $A$ 是 $\mathbb{Q}$-代数时，指数生成函数 $\sum_{n \geq 0} f_n \frac{t^n}{n!}$ 在 $\mathrm{End}_A(\bigwedge M)[[t]]$ 中满足线性常微分方程 $y^{(r)} - e_1 y^{(r-1)} + \cdots + (-1)^r e_r y = 0$。
• 矩阵指数 $\exp(ft)$ 可表示为 $\exp(ft) = \sum_{j=0}^{r-1} v_j(t) f^j$，其中每个 $v_j(t)$ 是满足初始条件 $v_j^{(i)}(0) = \delta_{ij}$ 的常微分方程的唯一解，从而改进了 Putzer 的方法。