[论文解读] Remarks on the Cayley Representation of Orthogonal Matrices and on Perturbing the Diagonal of a Matrix to Make it Invertible

Jean Gallier|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2006

Mathematics and Applications参考文献 7被引用 10

一句话总结

本文将经典的Cayley变换推广至所有正交矩阵，包括具有−1特征值的矩阵，通过Cayley变换的乘积与一个符号矩阵来表示。此外，证明了通过翻转对角线元素的符号（而非改变其大小）可使任意矩阵变为可逆，其理论基础在于：对于任意非奇异的对角扰动，此类符号翻转总能保证可逆性。

ABSTRACT

This note contains two remarks. The first remark concerns the extension of the well-known Cayley representation of rotation matrices by skew symmetric matrices to rotation matrices admitting -1 as an eigenvalue and then to all orthogonal matrices. We review a method due to Hermann Weyl and another method involving multiplication by a diagonal matrix whose entries are +1 or -1. The second remark has to do with ways of flipping the signs of the entries of a diagonal matrix, C, with nonzero diagonal entries, obtaining a new matrix, E, so that E + A is invertible, where A is any given matrix (invertible or not).

研究动机与目标

• 将旋转矩阵的Cayley表示方法扩展至包含−1为特征值的旋转矩阵。
• 通过符号矩阵将Cayley变换推广至所有正交矩阵（包括非正常型的，即行列式为−1的）。
• 建立任意矩阵均可通过翻转其对角线元素的符号而变为可逆矩阵的理论基础，无论原矩阵是否可逆。
• 为通过符号而非大小对对角线元素进行扰动以确保可逆性提供理论依据。
• 研究在何种最小条件下，对角线符号扰动能保证矩阵的可逆性。

提出的方法

• 利用赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）的结果，将任意旋转矩阵表示为两个反对称矩阵的Cayley变换的乘积。
• 对旋转块（角度≤π）开平方根，以避免出现−1特征值，从而实现标准Cayley表示。
• 引入一个对角矩阵E，其元素为±1，以将任意正交矩阵表示为R = E(I−S)(I+S)⁻¹的形式，其中S为反对称矩阵。
• 在特征不为2的整环上使用多项式论证，证明存在符号分配使得det(E + A) ≠ 0。
• 通过多元一次多项式中变量数的归纳法，证明存在符号分配可保持行列式非零。
• 提供另一种证明方法：基于Kahan的方法，利用所有2ⁿ个符号矩阵的和以及行列式在列上的线性性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典的Cayley变换能否推广至所有旋转矩阵，包括具有−1为特征值的？
• RQ2 Cayley表示能否推广至所有正交矩阵，包括非正常型（行列式为−1）的？
• RQ3 是否可以通过仅翻转对角线元素的符号，使任意矩阵变为可逆矩阵，而不受其原始结构影响？
• RQ4 对角扰动（以符号形式）的最小条件是什么，才能保证矩阵的可逆性？
• RQ5 该结果能否以非平凡方式推广至非对角扰动？

主要发现

• 所有SO(n)中的旋转矩阵均可表示为某个反对称矩阵的Cayley变换的平方。
• 所有O(n)中的正交矩阵均可表示为R = E(I−S)(I+S)⁻¹的形式，其中E为元素为±1的对角矩阵，S为反对称矩阵。
• 对任意n×n矩阵A及任意非零对角矩阵C，总存在一种符号分配方式，使得C + A可逆。
• 可逆性仅取决于对角线元素的符号，而非其大小，且此类符号分配始终存在。
• 该证明依赖于：在特征≠2的整环中，若对角线元素的符号分配得当，则矩阵的行列式非零。
• 通过Kahan方法的替代证明确认了该结论：利用所有2ⁿ个符号矩阵的和以及行列式在列上的线性性质，若所有I + EₖA均为奇异矩阵，则产生矛盾。