[论文解读] Remarks on the completeness of trajectories of accelerated particles in Riemannian manifolds and plane waves

Anna María Candela, Alfonso Romero+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文为具有时变势能的黎曼流形中加速粒子轨迹的完备性建立了新的完备性准则，将经典结果推广至非自治系统。该理论被应用于证明广义平面波时空的测地线完备性，表明当势能的增长及其梯度受适当控制时，完备性成立，从而推广了对pp-波和平面波的稳定性结果。

ABSTRACT

Recently, classical results on completeness of trajectories of Hamiltonian systems obtained at the beginning of the seventies, have been revisited, improved and applied to Lorentzian Geometry. Our aim here is threefold: to give explicit proofs of some technicalities in the background of the specialists, to show that the introduced tools allow to obtain more results for the completeness of the trajectories, and to apply these results to the completeness of spacetimes that generalize classical plane and pp-waves.

研究动机与目标

• 将经典关于自治系统中轨迹完备性的结果推广至具有时变势能的非自治系统。
• 为非自治黎曼动力学中轨迹完备性的技术性引理与定理提供严格证明。
• 将所发展的框架应用于广义平面波（GPW）时空的测地线完备性分析，该类时空推广了经典pp-波与平面波。
• 基于波函数H的有界性与增长条件，建立广义平面波中测地线完备性的充分条件。
• 证明在广义平面波类中，测地线完备性在波形扰动下具有稳定性。

提出的方法

• 本文分析形如 $\frac{D\dot{\gamma}}{dt} = F_{(\gamma(t),t)}\dot{\gamma}(t) - \nabla^{M_0}V(\gamma(t),t)$ 的二阶微分方程，其中 $F$ 为时变的 (1,1)-张量场，$V$ 为时变势能。
• 引入 $F$ 的自伴部分 $S$，并在有限时间区间上对 $\|S(t)\|$ 定义有界性条件，以控制力项的影响。
• 提出一个比较引理，将解的增长与势能及其梯度的行为相关联，从而实现完备性分析。
• 将该框架应用于形如 $M = M_0 \times \mathbb{R}^2$ 的时空，其度量为 $g = g_0 + 2dudv + \mathcal{H}(x,u)du^2$，其中 $\mathcal{H}$ 定义广义平面波。
• 通过定理 3.2，将有效势能 $V(x,u) = -\frac{1}{2}\mathcal{H}(x,u)$ 下的轨迹完备性与时空的测地线完备性相联系。
• 推导出充分条件：$\mathcal{H} \leq \beta_0(u)$ 且 $\left|\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial u}\right| \leq \alpha_0(u)(\beta_0(u) - \mathcal{H})$，确保在 $\mathcal{H}$ 及其导数有界增长下实现完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在黎曼流形中，当粒子具有时变势能和时变力场时，其轨迹在何种条件下是完备的？
• RQ2 当力场既非自伴也非斜自伴时，如何分析非自治系统中轨迹的完备性？
• RQ3 波形 $\mathcal{H}(x,u)$ 需满足何种几何与分析性条件，才能保证广义平面波时空中的测地线完备性？
• RQ4 黎曼设定下轨迹的完备性与相应洛伦兹时空的测地线完备性之间有何关系？
• RQ5 经典平面波与pp-波的完备性是否可被推广，并证明其在波函数扰动下的稳定性？

主要发现

• 本文证明了一个关于具有时变势能与一般力场的非自治系统的全新完备性定理（定理 2.3），将先前在自治系统中的结果推广至非自治情形。
• 证明了广义平面波时空的测地线完备性等价于由方程 $\frac{D\dot{\gamma}}{dt} = \frac{1}{2}\nabla^{M_0}\mathcal{H}(\gamma(t),t)$ 所描述的轨迹完备性。
• 推论 3.3 提供了测地线完备性的充分条件：若 $\mathcal{H}(x,u) \leq \beta_0(u)$ 且 $\left|\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial u}\right| \leq \alpha_0(u)(\beta_0(u) - \mathcal{H})$，其中 $\alpha_0, \beta_0$ 为连续函数，则该时空是测地线完备的。
• 推论 3.4 表明，若 $\nabla^{M_0}\mathcal{H}$ 沿有限时间在 $M_0$ 上至多线性增长，且 $(M_0, g_0)$ 完备，则广义平面波是测地线完备的。
• 结果表明，广义平面波类中测地线完备性具有稳定性，推广了已知的pp-波与经典平面波结果。
• 分析表明，黎曼设定下轨迹的完备性完全决定了相关时空的测地线完备性，从而将一个洛伦兹问题转化为一个黎曼问题。