[论文解读] Remarks on the mathematical origin of wave mechanics and consequences for a quantum mechanics in a gravitational field

Mayeul Arminjon|ArXiv.org|Mar 28, 2002

Relativity and Gravitational Theory参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文通过现代波理论重新阐释了波动力学的数学起源，表明即使在动量-位置混合项存在的情况下，经典哈密顿量与量子波方程之间的对应关系也是明确无歧义的。文章认为，引力场中一致的量子力学需要一个优选参考系，由此推测量子引力可能是不必要的。

ABSTRACT

According to Schroedinger's ideas, classical dynamics of point particles should correspond to the " geometrical optics " limit of a linear wave equation, in the same way as ray optics is the limit of wave optics. It is shown that, using notions of modern wave theory, the " geometrical optics " analogy leads to the correspondence between a classical Hamiltonian H and a " quantum " wave equation in a natural and general way. In particular, the correspondence is unambiguous also in the case where H contains mixed terms involving momentum and position. In the line of Schroedinger's ideas, it is also attempted to justify the occurrence, in QM, of eigenvalues problems, not merely for energy, but also for momentum. It is shown that the wave functions of pure momentum states can be defined in a physically more satisfying way than by assuming plane waves. In the case of a spatially uniform force field, such momentum states have a singularity and move undeformed according to Newton's second law. The mentioned unambiguous correspondence allows to uniquely extend the Klein-Gordon relativistic wave equation to the case where a constant gravitational field is present. It is argued that Schroedinger's wave mechanics can be extended to the case with a variable gravitational field only if one accepts that the wave equation is a preferred-frame one. From this viewpoint, generally-covariant extensions of the wave equations of QM seem rather formal. Finally, it is conjectured that there is no need for a quantum gravity.

研究动机与目标

• 通过现代波理论重建波动力学的数学基础，超越公理化量子力学的框架。
• 解决经典哈密顿量与量子波方程之间对应关系的模糊性，特别是当动量与位置项混合时。
• 通过波动力学原理，不仅为能量，也为动量的本征值问题提供合理解释。
• 在一致且非量子化的引力框架下，将克莱因-戈尔登方程扩展至包含恒定引力场的情形。
• 研究在不量化引力的前提下，能否在弯曲时空中的引力场中一致地表述量子力学，基于优选参考系的假设。

提出的方法

• 应用线性介质中色散关系理论，推导出经典哈密顿量与线性波方程之间的一一对应关系。
• 利用几何光学类比，表明即使在存在混合 p-x 项的情况下，经典轨迹仍可作为波方程的射线解出现。
• 通过群速度均匀性、色散关系符合性以及时间依赖薛定谔方程的相容性来定义纯动量态，而非仅依赖平面波假设。
• 通过保持相同对应原理，将克莱因-戈尔登方程扩展至恒定引力场，同时保持波方程结构的一致性。
• 假设存在一个优选参考系（宏观以太），用于引力动力学，该假设与将引力视为宏观压强梯度的标量引力理论一致。
• 从波动力学原理推导出弯曲时空中的波方程，要求存在优选参考系以维持一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使哈密顿量包含混合动量-位置项，经典哈密顿量与量子波方程之间的对应关系是否可以变得明确无歧义？
• RQ2 能否以比假设平面波更物理的方式定义量子力学中的纯动量态？
• RQ3 是否可能在不违反波动力学原理的前提下，一致地将相对论性波方程（如克莱因-戈尔登方程）扩展至包含恒定引力场？
• RQ4 量子力学在引力场中是否需要一个优选参考系？这对广义协变性有何影响？
• RQ5 能否基于经典、宏观的引力场，在不量化引力的前提下，一致地表述弯曲时空中的量子力学？

主要发现

• 即使哈密顿量包含混合动量-位置项，经典哈密顿量与量子波方程之间的对应关系，仍由几何光学极限唯一确定。
• 在波动力学中，纯动量态的最佳定义方式是：群速度均匀、满足色散关系、且在薛定谔方程时间演化下保持一致，而非仅依赖平面波假设。
• 通过保持波方程结构在相同对应原理下的不变性，克莱因-戈尔登方程可一致地扩展至包含恒定引力场。
• 将量子力学一致地推广至引力场，要求存在一个物理上优选的参考系，这与广义协变性相矛盾。
• 波动力学推导出的波方程与弯曲时空中的方程之间存在动力学不一致性，暗示可能存在根本性冲突，或需修改量子力学。
• 作者推测，量子引力可能是不必要的，因为引力可能是一种经典、宏观效应，源于流体以太中微观涡旋的统计行为。