[论文解读] Remarks on the nonlinear Schroedinger equation with harmonic potential

Rémi Carles|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2001

Advanced Mathematical Physics Problems被引用 10

一句话总结

本文研究了含谐振势的非线性薛定谔方程的柯西问题，该方程在玻色-爱斯坦凝聚中被广泛使用。文章建立了一种类伪共形型演化规律，使得能够推导出波包塌缩的判据以及爆破时间的上下界，将全局存在性分析从无势情况推广至含势情况。

ABSTRACT

Bose-Einstein condensation is usually modeled by nonlinear Schroedinger equations with harmonic potential. We study the Cauchy problem for these equations. We show that the local problem can be treated as in the case with no potential. For the global problem, we establish an evolution law, which is the analogue of the pseudo-conformal conservation law for the nonlinear Schroedinger equation. With this evolution law, we give wave collapse criteria, as well as an upper bound for the blow up time. Taking the physical scales into account, we finally give a lower bound for the blow up time.

研究动机与目标

• 分析含谐振势的非线性薛定谔方程的柯西问题，该方程是玻色-爱斯坦凝聚中的关键模型。
• 将标准非线性薛定谔方程的局部适定性结果扩展至含谐振势的情况。
• 推导一种类似于伪共形守恒律的演化规律，以处理全局问题。
• 在物理尺度下，建立解爆破时间的上下界。

提出的方法

• 将标准非线性薛定谔方程的局部存在性理论适配至含谐振势的情况。
• 推导出一种新颖的演化规律，该规律推广了含谐振势方程的伪共形守恒律。
• 利用推导出的演化规律，制定波塌缩的充分条件。
• 应用物理尺度，将爆破时间的界限转化为具有物理意义的估计量。
• 结合能量与方差型估计，推导出爆破时间的上下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 谐振势的存在如何影响非线性薛定谔方程的局部与全局适定性？
• RQ2 能否将伪共形型守恒律推广至含谐振势的非线性薛定谔方程？
• RQ3 在存在谐振势的情况下，可推导出何种判据以预测波塌缩？
• RQ4 在物理尺度下，可建立爆破时间的何种上下界？

主要发现

• 含谐振势的非线性薛定谔方程的局部柯西问题适定，与无势情况类似。
• 推导出一种类似于伪共形守恒律的演化规律，使得能够分析全局动力学行为。
• 利用推导出的演化规律，建立了波塌缩的充分条件。
• 通过演化规律与方差估计，获得了爆破时间的上界。
• 通过在分析中引入物理尺度，推导出爆破时间的下界。