[论文解读] Remarks on the nonvanishing of cohomology groups for perverse sheaves on abelian varieties

Rainer Weissauer|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文建立了阿贝尔簇上不可约 perverse 丛的上同调群维数的精确下界，证明对于上同调非零的此类丛，度数 $d-1$ 处的上同调维数超过度数 $d$ 处维数的某个倍数，且该界限依赖于丛的支撑维数与阿贝尔簇的维数。该结果推广了 Hard Lefschetz 定理，并表明上同调在零点周围对称支撑。

ABSTRACT

It is shown that for a perverse sheaf $K$ on an abelian variety $X$ the integers $i$ for which the cohomology $H^i(X,K)$ does not vanish define an interval in the number line (under certain conditions on the field of definition of $K$)

研究动机与目标

• 建立阿贝尔簇上不可约 perverse 丛的上同调群维数的定量下界。
• 通过证明此类丛的非零上同调在零点周围对称分布，推广 Hard Lefschetz 定理。
• 分析光滑射影簇的 Albanese 映射下 perverse 丛的上同调，特别是当像为阿贝尔簇时的情形。
• 通过将上同调分解为不可约表示，为复代数簇的伽罗瓦覆叠提供上同调估计。
• 提供伽罗瓦覆叠上同调中不可约表示重数的新界，改进已知的 Chevalley-Weil 型估计。

提出的方法

• 使用阿贝尔簇 $X$ 上 perverse 丛 $K$ 的卷积幂，将其分解为一个 perverse 丛 $K_r$ 与可忽略的分量 $L_ u[n_ u]$ 之和。
• 应用 Künneth 公式与 Laurent 多项式 $h_t(X,K)$ 中的系数比较，关联度数 $rd$ 与 $rd-1$ 处的上同调维数。
• 利用相对 Hard Lefschetz 定理与 [BBD] 中的上同调界，约束上同调群的支撑与度数。
• 利用阿贝尔子簇 $A$ 的商映射 $\pi: X \to X/A$ 的结构，分析可忽略丛对卷积的贡献。
• 应用 perverse 解析延拓与对偶性，确保直接像的不可约分量在 Albanese 映射下保持不可约。
• 依赖迹公式与表示论，将上同调重数表示为特征标与欧拉示性数的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于阿贝尔簇 $X$ 上满足 $d = d(K) > 0$ 的不可约 perverse 丛 $K$，上同调群 $H^{d-1}(X,K)$ 与 $H^d(X,K)$ 的维数之比的最小可能值是多少？
• RQ2 在 Albanese 映射非平凡时，光滑射影簇 $Y$ 上 perverse 丛的上同调在何种条件下支撑于 $[-d,d]$？
• RQ3 伽罗瓦覆叠 $\tilde{Y} \to Y$ 的上同调中不可约表示的重数如何与 $Y$ 及其 Albanese 变量的几何相关？
• RQ4 能否通过阿贝尔簇的维数与丛的支撑维数，以定量形式强化 Hard Lefschetz 定理下的上同调对称支撑？
• RQ5 在 perverse 丛的卷积中，可忽略分量对结果复形上同调的精确贡献是什么？

主要发现

• 对于任意阿贝尔簇 $X$（维数为 $g$）上的不可约 perverse 丛 $K$，若 $d = d(K) > 0$，则不等式 $\dim H^{d-1}(X,K) > \frac{2d}{d+g} \cdot \dim H^d(X,K)$ 成立。
• 若 $X$ 是简单阿贝尔簇，则 $\dim H^{d-1}(X,K) > d \cdot \dim H^d(X,K)$，该界强于一般情形。
• 丛 $K$ 的上同调在且仅在度数 $\nu \in [-d(K), d(K)]$ 处非零，此为 Hard Lefschetz 定理与主不等式的结果。
• 对于具有非平凡 Albanese 映射 $f: Y \to X$ 的光滑射影簇 $Y$，若 $H^d(Y,L) \neq H^0(X, {}^pH^d(Rf_*L))$，则 $H^\nu(Y,L) \neq 0$ 当且仅当 $\nu \in [-d,d]$。
• 在伽罗瓦覆叠 $\pi: \tilde{Y} \to Y$（群为 $\Gamma$）的情形下，不可约表示 $\phi$ 在 $H^{d+n}(\tilde{Y}, \mathbb{C})$ 中的重数 $m_{d-1}(\phi)$ 满足 $m_{d-1}(\phi) > \frac{2d}{d+g} m_d(\phi)$。
• 对于曲面 $Y$ 及非平凡不可约表示 $\phi$，Chevalley-Weil 迹公式给出 $m_0(\phi) - 2m_1(\phi) \geq 0$，优于先前的界。