[论文解读] Remarks on the rigidity of CR-manifolds

Sung‐Yeon Kim, Dmitri Zaitsev|ArXiv.org|Jan 23, 2005

Holomorphic and Operator Theory参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文通过将一般子流形修改为具有指定可数、在 $S^1$ 中稠密的子群作为其 CR-自同构群，构造了具有非李群局部稳定性群的光滑 CR-流形。利用喷射空间中的扰动技术与群不变构造，证明了此类流形即使在强强伪凸情形下也存在，且不与任何实解析 CR-流形 CR-等价。

ABSTRACT

A method is proposed to obtain examples of smooth CR-manifolds whose local stability group is neither a Lie group nor infinite-dimensional.

研究动机与目标

• 证明光滑 CR-流形的局部稳定性群即使在强伪凸条件下也可能不是李群。
• 构造光滑一般子流形，使其局部 CR 稳定性群同构于 $S^1$ 的可数稠密子群，例如 $\{e^{2\pi i l/2^m} : l,m \in \mathbb{N}\}$。
• 证明此类流形不与任何实解析 CR-流形 CR-等价，尽管其满足有限型与有限非退化性。
• 提供一种通用方法，通过群不变扰动在喷射空间中生成具有指定局部 CR 自同构群的光滑 CR-流形。

提出的方法

• 在喷射空间中使用归纳构造，对某点 $p$ 处具有有限型的给定光滑一般子流形 $M$ 进行扰动。
• 定义一系列邻域 $V_k$、集合 $X_k$ 和扰动后的子流形 $M_k$，使得 $M_k$ 避开某些轨道闭包，同时保持无限阶切触。
• 通过替换 $g(M \cap V_k)$ 为 $g(M_k \cap V_k)$（$g \in G_k$，其中 $G_k$ 是可数递增群 $G$ 的有限子群）构造新子流形 $\widetilde{M}$。
• 确保扰动足够小（通过 $\varepsilon_k$、$\delta_k$、$\eta_k$ 控制），使得 $\widetilde{M}$ 在 $p$ 处与 $M$ 无限阶切触，同时保持有限型。
• 利用导数估计与单射半径估计，证明任何 $\widetilde{M}$ 的 CR-自同构必须保持扰动结构，从而强制其属于 $G$。
• 利用扰动集 $N_k$ 的刚性与对轨道闭包的避开性，得出只有 $G$ 中的元素才能保持 $\widetilde{M}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 光滑 CR-流形的局部稳定性群是否可能在强伪凸等强几何条件下仍不是李群？
• RQ2 能否构造一个光滑一般子流形，使其局部 CR 自同构群同构于 $S^1$ 的可数稠密子群？
• RQ3 即使满足有限型与有限非退化性，此类流形是否可能不与任何实解析 CR-流形 CR-等价？
• RQ4 在何种条件下可存在具有指定非李局部自同构群的光滑 CR-流形？
• RQ5 如何系统地利用喷射空间中的群不变扰动构造此类流形？

主要发现

• 对任意 $n \geq 2$，存在一个在 $\mathbb{C}^n$ 中的光滑强伪凸超曲面，其局部稳定性群同构于 $S^1$ 的可数稠密子群 $\{e^{2\pi i l/2^m} : l,m \in \mathbb{N}\}$，该群不是李群。
• 所构造流形 $\widetilde{M}$ 的局部 CR 稳定性群 $\mathrm{Aut}_{\rm CR}(\widetilde{M},p)$ 同构于 $G$，即 $S^1$ 的可数稠密子群，因此不是李群。
• 所构造的流形 $\widetilde{M}$ 在 $p$ 处与原流形 $M$ 无限阶切触，保持了有限型与一般性。
• 由于扰动集的刚性与对轨道闭包的避开性，$\widetilde{M}$ 的局部 CR 自同构群恰好为 $G$，且不会更大。
• 该构造产生的流形不与任何实解析 CR-流形 CR-等价，即使原始 $M$ 是实解析且 $G$-不变的。
• 该方法适用于任意有限型、有限非退化、$G$-不变的芽，其中 $G$ 是 $\mathrm{Aut}(\mathbb{C}^n,p)$ 中有限子群的可数递增并集。