[论文解读] Remarks on variational problems for Fefferman's measure

David E. Barrett, Christopher Hammond|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文研究了ℂ²中强拟凸超曲面上费弗尔曼测度相关的变分问题——特别是普莱托问题和等周问题。结果表明，等周商数𝒬具有欧几里得几何与布拉施克等仿射几何的双重特征，并引入了一种新的全纯不变等周量𝒬*，其严格为正，且在球面时取极值，为CR几何提供了更精细的不变量。

ABSTRACT

We investigate the Plateau and isoperimetric problems associated to Fefferman's measure for strongly pseudoconvex real hypersurfaces in $\mathbb C^n$ (focusing on the case $n=2$), showing in particular that the isoperimetric problem shares features of both the euclidean isoperimetric problem and the corresponding problem in Blaschke's equiaffine geometry in which the key inequalities are reversed. The problems are invariant under constant-Jacobian biholomorphism, but we also introduce a non-trivial modified isoperimetric quantity invariant under general biholomorphism.

研究动机与目标

• 分析ℂⁿ中强拟凸超曲面上费弗尔曼测度的普莱托问题，重点关注n=2的情形。
• 研究与费弗尔曼测度相关的等周问题，特别是等周商数𝒬(Z)的行为特征。
• 构造一种新的全纯不变等周量𝒬*(Z)，其在一般全纯映射下保持不变，而不仅限于雅可比行列式为常数的情形。
• 建立𝒬*(Z)的正性与极值性，尤其关注其在单位球面处的性质。
• 解决费弗尔曼测度及其相关几何不变量中的归一化与曲率问题。

提出的方法

• 利用通过Monge-Ampère型行列式与超曲面上的体积形式定义的费弗尔曼测度，确保其在雅可比行列式为常数的全纯映射下保持不变。
• 应用第一变分公式推导出最小化费弗尔曼测度的超曲面的临界性条件，导出涉及Levi形式与平均曲率的偏微分方程。
• 将修正的等周商数𝒬*(Z)定义为该区域所有全纯像下的下确界，以确保其在一般全纯同构下不变。
• 运用Sobolev嵌入估计与Jerison-Lee不等式，基于边界上的L²与L⁴/³范数，证明𝒬*(Z)的正性。
• 采用归一化技术与Webster及Li-Luk的曲率约定，调和文献中关于接触形式与曲率的不同定义。
• 应用复几何分析，包括CR几何与Kohn-Laplacian理论，推导出精确不等式与极值条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 等周商数𝒬(Z)是否表现出欧几里得几何与布拉施克等仿射几何之间的中间性质？
• RQ2 能否构造一种全纯不变的等周量，使其在一般全纯映射下（而不仅限于体积保持映射）保持有限且为正？
• RQ3 在ℂ²中所有强拟凸边界中，单位球面是否为新不变量𝒬*(Z)的极大化者？
• RQ4 在𝒬*(Z)的定义中，极值超曲面是否必然存在，即下确界是否可达最小值？
• RQ5 费弗尔曼测度中的不同归一化选择与Webster曲率如何影响所得的几何不等式？

主要发现

• 等周商数𝒬(Z)在雅可比行列式为常数的全纯映射下保持不变，且在ℂ²中的单位球面处有𝒬(S⁵) = 8π。
• 修正的等周量𝒬*(Z)严格为正，且在所有全纯映射下保持不变，构成真正的几何不变量。
• 在ℂ²中所有紧致强拟凸边界中，球面是𝒬*(Z)的极大化者，前提是第26个问题的猜想成立。
• 对于以Z为边界的区域Ω上的全纯函数h，不等式‖h‖_{L²(Ω)} ≤ C_Ω ‖h‖_{L⁴/³(Z)} 成立，这蕴含𝒬*(Z)的正性。
• 通过复几何方法重新获得并改进了Jerison-Lee Sobolev不等式，当函数为常数时取等号。
• 本文解决了费弗尔曼测度中的归一化模糊性，并将曲率约定与CR几何中已知结果（特别是Li与Luk的研究）相联系。