[论文解读] Remarks on zeta functions and K-theory over F1

Anton Deitmar|ArXiv.org|May 16, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 11

一句话总结

本文通过引入一个zeta多项式，将Soulé在虚构的单元素域（$\mathbb{F}_1$）上的zeta函数定义扩展至所有$\mathbb{F}_1$-概形，该多项式在$ q-1 $与固定整数$ e $互素时捕捉了有限域$\mathbb{F}_q$上的点计数。此外，本文比较了$\mathbb{F}_1$-环的K-理论的两种构造：Quillen的$Q$-构造与$+$-构造，表明当该么半群为群时两者一致，但一般情况下不同，其中$+$-构造仅依赖于单位群，而$Q$-构造则捕捉了更多么半群结构。

ABSTRACT

We show that the notion of zeta functions over F1, as given in special cases by Soule', extends naturally to all F1-schemes as defined earlier by the author. We further give two constructions of K-theory for affine schemes or F1-rings, we show that these coincide in the group case, but not in general.

研究动机与目标

• 将Soulé在$\mathbb{F}_1$上的zeta函数定义推广至所有$\mathbb{F}_1$-概形。
• 定义一个zeta多项式$N(x)$，使其在$ q $与固定$ e $满足$\gcd(q-1, e) = 1 $时，能捕捉$\mathbb{F}_1$-概形的$\mathbb{F}_q$-点数。
• 比较$\mathbb{F}_1$-环的K-理论的两种构造：Quillen的$Q$-构造与$+$-构造。
• 确定这两种K-理论构造在何种条件下一致。
• 阐明单位群与么半群结构在$\mathbb{F}_1$-K-理论中的作用。

提出的方法

• 为$\mathbb{F}_1$-概形$X$定义zeta多项式$N(x)$，使得当某个固定$e$满足$\gcd(q-1, e) = 1$时，有$\#X(\mathbb{F}_q) = N(q)$，并证明$N(x)$是唯一确定的。
• 将$\mathbb{F}_1$-zeta函数定义为$\zeta_{X|\mathbb{F}_1}(s) = s^{a_0}(s-1)^{a_1}\cdots(s-n)^{a_n}$，其中$N(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$。
• 通过在$\mathrm{GL}(A)^+$上的Quillen $+$-构造定义$K_i^+(A)$，其中$\mathrm{GL}_n(A) = A^n \rtimes \mathrm{Per}(n)$，$A$为么半群；通过在有限生成投射$A$-模范畴上的Quillen $Q$-构造定义$K_i^Q(A)$。
• 证明当$A$为群时，$+$-与$Q$-构造给出同构的K-理论群，并显式计算出$K_i(A) = \mathbb{Z} \times A$（$i=0$）及$K_i(A) = \pi_i^s$（$i>0$），其中$\pi_i^s$为球面的第$i$个稳定同伦群。
• 证明对于一般么半群$A$，有$K_i^+(A) = K_i^+(A^\times)$，即其仅依赖于单位群，而$K_i^Q(A)$则依赖于完整的么半群结构。
• 建立一个从$K_i^+(A)$到$K_i^Q(A)$的典范同态，并证明当$A$非群时，两种构造不同，例如当$A = \{1,a\}$且$ a^2 = a $时，有$K_0^+(A) = \mathbb{Z}$但$K_0^Q(A) = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Soulé在$\mathbb{F}_1$上的zeta函数构造能否推广至所有$\mathbb{F}_1$-概形，而不仅限于满足强多项式点计数条件的概形？
• RQ2 对于$\mathbb{F}_1$-概形，是否存在一个满足自然点计数性质的zeta函数的正确推广？
• RQ3 Quillen的$Q$-构造与$+$-构造是否对$\mathbb{F}_1$-环产生等价的K-理论？若否，其差异原因是什么？
• RQ4 么半群的$\mathbb{F}_1$-K-理论如何与其单位群及完整乘法结构相关？
• RQ5 在$\mathbb{F}_1$-环的背景下，$+$-与$Q$-构造的K-理论之间存在何种精确关系？

主要发现

• 对任意$\mathbb{F}_1$-概形$X$，存在一个自然数$e$及唯一一个整系数多项式$N(x)$，使得当$\gcd(q-1, e) = 1$时，有$\#X(\mathbb{F}_q) = N(q)$，从而定义了$X$的zeta多项式。
• $\mathbb{F}_1$-zeta函数定义为$\zeta_{X|\mathbb{F}_1}(s) = s^{a_0}(s-1)^{a_1}\cdots(s-n)^{a_n}$，其中$N(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$是$X$的zeta多项式，推广了Soulé的构造。
• $\mathbb{F}_1$-环$A$的$+$-构造K-理论仅依赖于单位群$A^\times$，即$K_i^+(A) = K_i^+(A^\times)$，而$Q$-构造则依赖于完整的么半群结构。
• 当$A$为群时，$+$-与$Q$-构造一致：$K_i^+(A) = K_i^Q(A)$，且$K_0(A) = \mathbb{Z} \times A$，$K_i(A) = \pi_i^s$（$i > 0$），其中$\pi_i^s$为球面的第$i$个稳定同伦群。
• 对于非群么半群（如$A = \{1,a\}$且$ a^2 = a $），有$K_0^+(A) = \mathbb{Z}$但$K_0^Q(A) = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，表明两种构造在一般情况下不一致。
• 存在一个从$K_i^+(A)$到$K_i^Q(A)$的典范同态，但其一般不是同构，原因在于并非所有么半群上的投射模都是自由模的直和项。