[论文解读] Removability of a codimension four singular set for solutions of a yang mills higgs equation with small energy

Penny Smith, Karen Uhlenbeck|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2018

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文通过一种新颖的极大值原理方法，建立了在小能量条件下，杨-米尔斯-希格斯方程解中余维四奇点集的可移除性，该方法导出了曲率与希格斯场协变导数的莫雷空间范数估计。关键结果表明，此类解在奇点集上光滑规范等价于可延拓的解，避免了依赖库仑规范，并简化了陶与田先前的证明。

ABSTRACT

We develop a new method for proving regularity for small energy stationary solutions of coupled gauge field equations. Our results duplicate those of Tian--Tao [7] for the pure Yang Mills equations, but our proof is simpler, and obtains bounded curvature without the use of Coulomb gauges. It relies instead on the Weitzenblock formulae, and an improved Kato inequality.

研究动机与目标

• 建立杨-米尔斯-希格斯方程解中豪斯多夫余维四奇点集的光滑可移除性。
• 提供一种新的陶-田可移除性结果的证明，避免使用指数规范与库仑规范构造。
• 证明曲率与希格斯场协变导数的小能量及小莫雷范数条件可推出解在奇点集上的光滑延拓性。
• 扩展高维耦合规范场方程静止解的正则性结果。
• 发展一种适用于广泛类Yang-Mills-Higgs方程的方法，包括具有有界希格斯场的情形。

提出的方法

• 通过对方程进行平均，从杨-米尔斯-希格斯方程导出一个微分不等式，再利用极大值原理进行分析。
• 利用威滕博克公式与改进的卡托不等式，获得莫雷空间中的曲率估计。
• 通过求解 $ d^*(g^{-1}dg + g^{-1}Ag) = s $ 实现规范变换，使 $ d^* ilde{A} = 0 $，从而保证在 $ L^p $ 中有界。
• 应用尺度变换与爆破技术分析奇点附近的局部行为，同时保持莫雷空间范数不变。
• 通过径向积分与哈德尔不等式（最优指数）建立连接 $ A $ 关于曲率 $ F_A $ 的 $ L^p $ 估计。
• 在 $ ilde{A} $ 上应用内部椭圆正则性，得出 $ ilde{A} \notin L^p_1 $，表明规范固定后具有更高正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，杨-米尔斯-希格斯解中余维四奇点集可被光滑移除？
• RQ2 能否在不依赖库仑规范构造的前提下证明此类奇点的可移除性？
• RQ3 能否直接从方程导出曲率与希格斯场协变导数的莫雷空间范数估计？
• RQ4 解的小能量与曲率在莫雷空间中的小性之间有何关系？
• RQ5 该方法能否推广至纯杨-米尔斯情形之外的其他耦合规范场方程？

主要发现

• 若曲率在莫雷空间 $ L^{p,n-4} $ 中小，且希格斯场协变导数在相同空间中也小，则解在奇点集上光滑规范等价于可延拓的解。
• 主要结果（推论4）表明，在曲率与 $ D_A ilde{\rho} $ 的莫雷范数较小条件下，余维四奇点可被移除。
• 对于小能量静止解，可验证曲率在莫雷空间中的小性，从而推出定理11为推论4的推论。
• 该证明避免使用库仑规范，转而使用从方程平均导出的微分不等式上的极大值原理。
• 该方法在规范变换后仍能保证曲率有界及连接的 $ L^p_1 $ 正则性，即使存在余维四奇点集。
• 由于余维条件与紧致结构群，该构造确保了规范变换可光滑延拓至奇点集。