[论文解读] Removable singularities for analytic varieties in strongly pseudoconvex domains

Giuseppe Della Sala, Alberto Saracco|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 4被引用 2

一句话总结

本文证明了在域 Ã ⊂ Ω 内存在一个具有孤立奇点的复流形，其边界与给定的闭极大复子流形 M ⊂ ∂Ω ∩ A 恰好相交于 M。该构造依赖于强拟凸域的几何性质，并通过将解析流形嵌入具有可控奇点的更大流形中，提供了关于解析流形可去奇点的结果。

ABSTRACT

Abstract. Let M be a closed maximally complex submanifold of some relatively compact open subset A of the boundary of a strictly pseudoconvex domain Ω of Cn. We find an open domain à of Ω, depending only on Ω and A, and a complex variety with isolated singularities W ⊂ à such that bW ∩ A = M. 1.

研究动机与目标

• 解决在强拟凸域边界上扩展带奇点的解析流形的问题。
• 确定在何种条件下，严格拟凸域 Ω 的边界中一个闭极大复子流形 M 可以是具有孤立奇点的复流形的边界。
• 构造一个仅依赖于 Ω 和 A 的开域 Ã ⊂ Ω，使得存在复流形 W ⊂ Ã 满足 bW ∩ A = M。
• 在强拟凸几何背景下，为解析流形的可去奇点提供几何实现。

提出的方法

• 利用 Ω 的严格拟凸几何性质，定义一个仅依赖于 Ω 和子流形 A 的域 Ã ⊂ Ω。
• 应用复分析与 CR 几何的技术，确保流形 W 的边界在 A 上恰好与 M 相交。
• 证明该流形 W 具有孤立奇点，从而保证构造过程良好且非退化。
• 该方法依赖于 M 作为相对边界 A ⊂ ∂Ω 内复子流形的极大性。
• W 的存在性源于 ∂Ω 的 Levi 几何与 M 的极大性之间的相互作用。
• 结果不依赖于局部坐标，而是依赖于 Ω 和 A 的内在几何性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将严格拟凸域 Ω 边界中一个闭极大复子流形 M 实现为具有孤立奇点的复流形的边界？
• RQ2 在何种条件下可确保此类流形存在于 Ã ⊂ Ω 中？
• RQ3 如何从 Ω 和 A 显式构造域 Ã？
• RQ4 流形 W 是否由 Ω 和 A 的几何唯一确定？
• RQ5 Ω 的强拟凸性在实现可去奇点构造中起到何种作用？

主要发现

• 在开域 Ã ⊂ Ω 内存在一个具有孤立奇点的复流形 W，使得 bW ∩ A = M。
• 域 Ã 仅依赖于 Ω 和 A，不依赖于其他几何数据。
• 该流形 W 的构造使得其边界在 A 上恰好与给定子流形 M 相交。
• 该结果在强拟凸域中建立了解析流形的可去奇点现象。
• 该构造是内在的，依赖于 M 的极大性与 Ω 的严格拟凸性。
• 该方法通过将奇点嵌入具有可控奇点的更大解析流形中，提供了奇点去除的几何实现。