[论文解读] Removable singularities for degenerate elliptic Pucci operators

Giulio Galise, Antonio Vitolo|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用 21

一句话总结

本文建立了关于 $p$ 阶退化椭圆 Pucci 方程的粘性解的扩展最大值原理与可去奇点结果，引入了一类新的完全非线性算子，其推广了经典 Pucci 算子。关键贡献在于：在奇异集的容量为零的条件下，即使在具有梯度项的极端退化情形下，次解仍可连续延拓，且最大值原理依然成立。

ABSTRACT

In this paper we introduce some fully nonlinear second order operators defined as weighted partial sums of the eigenvalues of the Hessian matrix, arising in geometrical contexts, with the aim to extend maximum principles and removable singularities results to cases of highly degenerate ellipticity.nn

研究动机与目标

• 将最大值原理与可去奇点结果推广至具有高度退化椭圆性的完全非线性退化椭圆方程。
• 引入一类新的 $p$ 阶 Pucci 型算子，其推广了经典 Pucci 算子，并包含截断拉普拉斯算子。
• 建立条件，使得有界次解在零容量奇异集 $E$ 上的符号能够传播。
• 分析梯度项 $b|Du|$ 在 $b$ 较大时如何破坏最大值原理，特别是在退化情形 $p < n$ 下的影响。
• 证明：在零 $\alpha^*$-容量的闭集 $E$ 外定义的次解可被延拓为在整个域 $\Omega$ 上的粘性解。

提出的方法

• 将退化 Pucci 算子 $\mathcal{P}^{\pm}_{\lambda,\Lambda|p}(X)$ 定义为 Hessian 矩阵 $X$ 的 $p$ 个最大或最小特征值的加权和。
• 在非线性项 $F$ 中引入结构条件 (6)，涉及 Pucci 算子、梯度项 $b|Du|$ 和零阶项 $-cu$。
• 利用基本解 $\Phi_{\alpha^*}(x)$（在原点处爆破）构造支撑函数，其满足 $\mathcal{P}^{+}_{\lambda,\Lambda|p}(D^2\Phi) = 0$ 在 $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 上。
• 应用容量理论，其中 $\alpha^*$-容量由 $\alpha^* = \frac{\lambda}{\Lambda}(p-1) - 1 \geq 0$ 定义，并要求对所有 $\alpha \in [0, \alpha^*]$ 有 $\mathrm{Cap}_{\alpha}(E) = 0$。
• 使用次解 $u(x)$ 在奇异集 $E$ 上下文的上、下半连续延拓 $U(x)$ 和 $V(x)$，并应用稳定性和比较原理，证明 $U = V$ 在 $E$ 上成立。
• 借助扩展比较原理（推论 5.2）得出结论：$U$ 和 $V$ 是在整个域 $\Omega$ 上的粘性解，从而证明了可去性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可将最大值原理扩展至 $p$ 阶退化椭圆 Pucci 方程？
• RQ2 在退化情形 $p < n$ 下，梯度项 $b|Du|$ 如何影响最大值原理的有效性？
• RQ3 在零 $\alpha^*$-容量的闭集 $E$ 外定义的粘性次解是否可被延拓为在 $E$ 处的完整粘性解？
• RQ4 基本解 $\Phi_{\alpha^*}$ 在构造支撑函数与证明可去性中起什么作用？
• RQ5 容量条件 $\mathrm{Cap}_{\alpha}(E) = 0$ 对所有 $\alpha \in [0, \alpha^*]$ 如何与退化 Pucci 方程中奇异集的可去性相关联？

主要发现

• 若 $\mathrm{Cap}_{\alpha}(E) = 0$ 对所有 $\alpha \in [0, \alpha^*]$ 成立，且 $\alpha^* = \frac{\lambda}{\Lambda}(p-1) - 1 \geq 0$，则有界次解 $u$ 满足 $\mathcal{P}^{+}_{\lambda,\Lambda|p}(D^2u) + b|Du| - cu \geq f(x)$ 在 $\Omega$ 上的扩展最大值原理成立。
• 当 $c = 0$ 时，若 $b\delta < \lambda p$（其中 $\delta$ 为包含 $\Omega$ 的球的半径），则最大值原理成立，确保梯度项不占主导。
• 当 $c > 0$ 时，对所有 $b \geq 0$ 最大值原理均成立，且估计中的常数 $C$ 依赖于 $c$。
• 对所有 $0 \leq \alpha < \alpha^*$，以及当 $b = 0$ 时对 $\alpha = \alpha^*$，均有估计 $\sup_{\Omega}u \leq \limsup_{y \to E'} u(y) + C\|f^-\|_{\infty}$ 成立。
• 建立了可去性结果（定理 1.2）：若 $u$ 是 $\Omega \setminus E$ 上有上界的粘性次解，且对所有 $\alpha \in [0, \alpha^*]$ 有 $\mathrm{Cap}_{\alpha}(E) = 0$，则 $u$ 可唯一延拓为 $\Omega$ 上的粘性解。
• 证明依赖于在 $E$ 上构造 $u$ 的上下半连续延拓 $U$ 和 $V$，通过比较原理证明 $U = V$，并最终得出 $U$ 是 $\Omega$ 上的粘性解。