[论文解读] Removal of Quantifiers by Elimination of Boundary Points

Eugene Goldberg, Panagiotis Manolios|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2012

Formal Methods in Verification参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对布尔合取范式（CNF）公式的新型量化词消去方法，通过消除边界点并引入依赖序列（D-序列）实现。该方法通过在所有可移除边界点被清除时终止，确保了组合式、可扩展的QEP求解，显著减少了子句爆炸问题，在模型检查基准测试中优于传统方法。

ABSTRACT

We consider the problem of elimination of existential quantifiers from a Boolean CNF formula. Our approach is based on the following observation. One can get rid of dependency on a set of variables of a quantified CNF formula F by adding resolvent clauses of F eliminating boundary points. This approach is similar to the method of quantifier elimination described in [9]. The difference of the method described in the present paper is twofold: {\bullet} branching is performed only on quantified variables, {\bullet} an explicit search for boundary points is performed by calls to a SAT-solver Although we published the paper [9] before this one, chrono- logically the method of the present report was developed first. Preliminary presentations of this method were made in [10], [11]. We postponed a publication of this method due to preparation of a patent application [8].

研究动机与目标

• 解决现有QEP求解器依赖枚举满足赋值或生成过多归结子句而导致的效率低下与非组合式问题。
• 设计一种量化词消去的终止条件，避免公式规模指数级膨胀，同时保证正确性。
• 通过识别并消除冗余变量（利用可移除边界点）实现组合式QEP求解。
• 引入D-序列作为正式机制，记录并传播子公式间的变量冗余性。
• 在硬件与软件验证任务中，特别是模型检查任务中，提升可扩展性与性能。

提出的方法

• 该方法在CNF公式F(X,Y)中识别X′-边界点，即：完全赋值使F为假，且每个为假的子句均包含X′中的变量，且对X′的子集保持最小性。
• 若通过翻转X中的变量无法获得F的满足赋值，则该边界点为可移除；通过添加不包含X′中变量的归结子句来消除此类边界点。
• 算法仅在量化变量X上进行分支，使用SAT求解器显式搜索边界点。
• 维护并推导形如(F, X′, q) → X′′的D-序列，其中q是X的局部赋值，用以记录在应用q后X′′中的变量在F中为冗余。
• 当不存在可移除的X′-边界点时，算法终止，最终公式F*(Y)通过移除所有包含X中变量的子句得到。
• D-序列框架通过允许在子空间中无边界点时独立处理子公式，实现组合式推理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种QEP的终止条件，避免枚举满足赋值导致的指数级膨胀，同时保证正确性？
• RQ2 能否将边界点的概念从单个变量推广到任意子集X′ ⊆ X，以支持组合式推理？
• RQ3 能否利用依赖序列（D-序列）正式捕捉并传播量化消去中的变量冗余性？
• RQ4 基于边界点消除与D-序列的QEP求解器在实际验证任务中是否比现有方法具有更好的可扩展性与性能？
• RQ5 与基于BDD或归结的求解器相比，该新方法在多大程度上保持或改善了组合行为？

主要发现

• 所提出的DDS算法在HWMCC’10基准集的前向模型检查中解决的基准数多于DP与EnumSA，在后向模型检查中则显著更多。
• DDS_impl在后向模型检查中解决了758个基准，优于EnumSA与DP，尽管因需求解最复杂实例而耗时更长。
• 该方法具有组合性，因为当子空间中无须移除的边界点时，可独立处理子公式，从而高效处理可分解公式。
• 通过边界点消除，相比DP过程生成的归结子句更少，从而提升了效率。
• D-序列框架能够形式化、可靠且终止地推导变量冗余性，避免了对所有赋值的穷举枚举。
• 初步实验表明，对于由独立子公式构成的公式，该方法在性能上实现了指数级提升。