[论文解读] Renewal shot noise processes in the case of slowly varying tails

Zakhar Kabluchko, Alexander Marynych|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 20被引用 3

一句话总结

该论文建立了具有缓慢变化到达时间尾部的更新点过程的弱收敛性，表明在涉及缓慢变化函数逆函数的非线性缩放后，该过程在有限维分布下收敛于一个变换后的逆极值过程。关键结果表明，极限过程为时间改变的逆稳定子午线过程，其边际分布为按幂函数缩放的指数随机变量。

ABSTRACT

We investigate weak convergence of renewal shot noise processes in the case of slowly varying tails of the inter-shot times. We show that these processes, after an appropriate non-linear scaling, converge in the sense of finite-dimensional distributions to an inverse extremal process.

研究动机与目标

• 分析当到达时间具有缓慢变化尾部时，更新点过程的渐近行为。
• 填补文献中关于此类过程在非指数、重尾到达时间分布下弱收敛性的空白。
• 基于缓慢变化函数的逆函数，使用非线性缩放建立这些过程的功能极限定理。
• 将极限过程表征为具有显式边际和增量分布的时间改变逆极值过程。

提出的方法

• 作者使用具有缓慢变化尾部的随机游走的功能极限定理，具体为 $ n^{-1}L(S_{[n\cdot]}) $ 在 $ M_1 $-拓扑下收敛于极值过程 $ m(\cdot) $。
• 他们应用非线性时间改变，使用逆函数 $ L^{\leftarrow} $，将时间尺度变换为 $ t \mapsto L^{\leftarrow}(tu) $，以规范化重尾行为。
• 点过程 $ Y(t) $ 按 $ t \cdot h(L^{\leftarrow}(t)) $ 缩放，其中 $ h \circ L^{\leftarrow} $ 为指数 $ \alpha $ 的正规变体，以确保适当的归一化。
• 通过将积分分解为两部分来证明收敛性：一部分为函数在跳跃时间附近远离的区间，另一部分为潜在跳跃的邻域。
• 该证明依赖于 $ M_1 $-拓扑下首次通过时间映射的连续性以及极值过程的自相似性。
• 一个辅助引理表明，任何缓慢变化函数均可替换为严格递增、连续的版本，而不会改变渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 当到达时间具有缓慢变化尾部时，更新点过程的极限行为是什么？
• RQ2 应如何变换时间与振幅尺度，以获得非退化的弱极限？
• RQ3 从有限维分布和路径性质来看，极限过程的本质是什么？
• RQ4 缩放函数 $ L^{\leftarrow} $ 如何影响收敛性及极限的结构？
• RQ5 极限过程能否显式表征？其增量和边际分布为何？

主要发现

• 缩放后更新点过程的有限维分布收敛于 $ (u_1^\alpha m^{\leftarrow}(u_1), \dots, u_n^\alpha m^{\leftarrow}(u_n)) $，其中 $ m^{\leftarrow} $ 为极值过程的广义逆。
• 极限过程 $ m^{\leftarrow}(u) $ 具有独立增量，且边际分布为指数分布：$ \mathbb{P}\{m^{\leftarrow}(u) > v\} = e^{-v/u} $。
• 收敛性在非线性时间改变 $ t \mapsto L^{\leftarrow}(tu) $ 下成立，该变换考虑了到达时间分布的缓慢变化尾部。
• 极限过程在每个固定的 $ u \geq 0 $ 几乎必然连续，这是极值过程路径性质的结果。
• 收敛性以有限维分布的弱收敛性建立，极限过程为时间改变的逆稳定子午线过程。
• 该结果将经典点过程收敛理论扩展至缓慢变化尾部情形，此时线性归一化失效，非线性缩放为必要条件。