[论文解读] Renewal Time Points for Hawkes Processes

Mads Bonde Raad|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2019

Point processes and geometric inequalities参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文提出一种基于更新的分析方法，用于研究非线性且与年龄相关的霍克斯过程，通过构造显式的更新时间，使马尔可夫链理论得以应用。该方法建立了耦合时间的矩界，并在不假设核函数为正或单调的条件下，证明了功能中心极限定理（CLT）和时间平均中心极限定理。

ABSTRACT

In the last decade Hawkes processes have received much attention as models for functional connectivity in neural spiking networks and other dynamical systems with a cascade behavior. In this paper we establish a renewal approach for analyzing this process. We consider the ordinary nonlinear Hawkes process as well as the more recently described age dependent Hawkes process. We construct renewal-times and establish moment results for these. This gives rise to study the Hawkes process as a Markov chain. As an application, we prove asymptotic results such as a functional CLT and a time-average CLT.

研究动机与目标

• 开发一种更新框架，用于分析非线性和与年龄相关的霍克斯过程，从而能够应用马尔可夫链技术。
• 即使核函数具有非紧支集，也能构造显式的更新时间，克服先前方法的局限性。
• 推导出由同一泊松测度驱动的两个霍克斯过程之间耦合时间的矩结果。
• 在一般可积性条件下，为霍克斯过程建立功能中心极限定理（CLT）和时间平均中心极限定理。
• 在对跳跃大小分布的矩假设较弱的前提下，证明再生时间的几何遍历性和指数矩界。

提出的方法

• 通过停止时间过程构造更新时间：等待发生一个极小化事件，然后利用独立随机化决定是否更新或推进时间。
• 将更新时间 $\alpha_\eta$ 定义为相对于过程与辅助独立同分布随机变量生成的扩展滤子的停止时间。
• 使用耦合技术，根据更新时间的分布来界定两个霍克斯过程之间耦合时间的上界。
• 应用卡克斯定理和矩生成函数不等式，推导再生时间 $\sigma$ 的矩界。
• 利用生存函数和转移概率，对再生时间泛函的期望值进行递归分解。
• 应用中值定理和控制收敛定理，以控制矩生成函数方法中的指数矩。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有非紧支集核的霍克斯过程构造更新时间？
• RQ2 在相同泊松噪声驱动下，两个霍克斯过程之间耦合时间的矩性质可建立为何种结果？
• RQ3 是否可以在不假设核函数为正或单调的条件下，为霍克斯过程证明功能中心极限定理？
• RQ4 在何种条件下，霍克斯过程的再生时间具有有限的指数矩？
• RQ5 霍克斯过程的年龄相关结构如何影响再生时间的存在性及其矩？

主要发现

• 更新时间 $\alpha_\eta$ 是显式可构造的，且可模拟，为耦合与模拟研究提供了实用工具。
• 两个霍克斯过程之间的耦合时间具有有限矩，其大小依赖于核 $h$ 的 $L^1$-范数，扩展了对紧支集核结果的适用范围。
• 在 $h$ 满足一般可积性条件的前提下，为积分过程 $t^{-1/2}\int_0^t H(Z_{[s-D,s]})ds$ 建立了功能中心极限定理。
• 为过去历史的一般泛函证明了时间平均中心极限定理，将先前结果推广至非线性和非单调核。
• 若跳跃大小分布具有 $q+1$ 阶矩，则再生时间 $\sigma$ 具有所有 $q \geq 0$ 的 $q$ 阶矩；若跳跃大小具有指数矩，则再生时间也具有指数矩。
• 在跳跃大小具有有限 $q+1$ 阶矩的条件下，证明了嵌入马尔可夫链的几何遍历性，并获得了再生时间的指数矩界。