[论文解读] Renormalisation of hierarchically interacting Cannings processes

Andreas Greven, den W.Th.F. Hollander+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 42被引用 7

一句话总结

本文引入了一类具有多尺度迁移和非局部重采样机制的分层相互作用Cannings过程，分析其在分层平均场极限下的重整化行为。结果表明，当 $N\to\infty$ 时，$k$-宏观群落平均值收敛于一个 $C^{\Lambda_k}$-过程与一个波动率 $d_k$ 依赖于低尺度迁移和重采样参数的Fleming-Viot过程的叠加，揭示了由迁移与重采样强度共同决定的新型聚类与局部共存之间的二分法。

ABSTRACT

The present paper brings a new class of interacting jump processes into focus. We start from a single-colony $C^Λ$-process, which arises as the continuum-mass limit of a $Λ$-Cannings individual-based population model, where $Λ$ is a finite non-negative measure that describes the offspring mechanism. After that we introduce a system of hierarchically interacting $C^Λ$-processes, where the interaction comes from migration and reshuffling-resampling based on measures $(Λ_k)_{k}$ both acting in $k$-blocks of the hierarchical group. We refer to this system as the $C_N^{c,Λ}$-process. The dual process of the $C_N^{c,Λ}$-process is a spatial coalescent with multi-level block coalescence. For the above system we carry out a full renormalisation analysis in the hierarchical mean-field limit $N o\infty$. Our main result is that, in the limit as $N o\infty$, on each scale $k\in\mathbb{N}_0$ the $k$-block averages of the $C_N^{c,Λ}$-process converge to a random process that is a superposition of a $C^{Λ_k}$-process and a Fleming-Viot process, the latter with a volatility $d_k$ and with a drift of strength $c_k$ towards the limiting $(k+1)$-block average. It turns out that $d_k$ is a function of $c_l$ and $Λ_l$ for all $0\leq l

研究动机与目标

• 将重整化分析从扩散系统扩展到一类新的相互作用跳跃过程——分层相互作用的 $C^\Lambda$-过程，以建模具有非局部重采样的多类型群落。
• 研究这些过程在分层平均场极限 $N\to\infty$ 下的大尺度时空行为，重点关注宏观可观测量在分层尺度上的演化。
• 将 $k$-宏观群落平均值的极限行为表征为 $C^{\Lambda_k}$-过程与具有尺度依赖波动率 $d_k$ 的Fleming-Viot过程的叠加。
• 识别系统表现出聚类（空间单类型区域）与局部共存（多种类型共存）的条件，以迁移与非局部重采样强度之间的权衡替代经典的常返/瞬态迁移二分法。

提出的方法

• 该模型以单群落 $C^\Lambda$-过程为基础，作为具有各层级 $k\in\mathbb{N}_0$ 处重采样测度 $\Lambda_k$ 的 $\Lambda$-Cannings 个体基础模型的连续质量极限。
• 在分层群 $\Omega_N$ 上定义了一组分层相互作用的 $C^\Lambda$-过程，迁移系数 $c_k$ 与重采样测度 $\Lambda_k$ 同时在所有尺度上作用。
• 其对偶过程被识别为具有多尺度非局部共轭的时空共轭过程，其中共轭事件通过重排在宏观群落之间发生，随后才进行重采样。
• 重整化分析涉及将时间按 $N^k$ 缩放，并研究 $k$-宏观群落平均值的极限，导出具有漂移趋向于 $(k+1)$-宏观群落平均值和波动率 $d_k$ 的McKean-Vlasov型极限。
• 波动率 $d_k$ 被表示为 $c_l$ 与 $\Lambda_l([0,1])$（$l<k$）的Möbius变换复合函数，其在 $k\to\infty$ 时的渐近缩放行为被分析，以分类出四种不同模式。
• 在 $J_1$-Skorokhod拓扑下建立了 $k$-块平均过程的收敛性，其生成元 $L^{(N)[k]}_{\mathrm{mig}}$ 与 $L^{(N)[k]}_{\mathrm{res}}$ 分别捕捉了在尺度 $k$ 上的迁移与重采样效应。

实验结果

研究问题

• RQ1 与扩散模型相比，非局部重排-重采样机制的引入如何影响分层相互作用Cannings过程的重整化行为？
• RQ2 当 $N\to\infty$ 时，$C_N^{\underline{c},\underline{\Lambda}}$-过程的 $k$-宏观群落平均值的极限行为是什么？其如何用 $C^{\Lambda_k}$-过程与Fleming-Viot过程表征？
• RQ3 极限过程的波动率 $d_k$ 如何依赖于所有 $l<k$ 的低尺度参数 $c_l$ 与 $\Lambda_l([0,1])$？其在 $k\to\infty$ 时的渐近缩放行为如何？
• RQ4 该系统中聚类与局部共存的新判据是什么？它与Fleming-Viot扩散中经典的常返/瞬态二分法有何不同？
• RQ5 有限 $N$ 下的过程与无限 $N$ 极限下的大尺度行为在聚类与局部共存之间的二分法上有多大程度上保持一致？

主要发现

• 在分层平均场极限 $N\to\infty$ 下，$C_N^{\underline{c},\underline{\Lambda}}$-过程的 $k$-宏观群落平均值收敛于一个过程，该过程是 $C^{\Lambda_k}$-过程与一个具有漂移 $c_k$ 趋向于 $(k+1)$-宏观群落平均值、波动率 $d_k$ 的Fleming-Viot过程的叠加。
• 波动率 $d_k$ 是所有 $0\leq l<k$ 的 $c_l$ 与 $\Lambda_l([0,1])$ 的函数，其在 $k\to\infty$ 时的渐近缩放行为决定了四种不同的模式，该结果通过Möbius变换的复合推导得出。
• 在分层相互作用的Fleming-Viot扩散中经典的聚类与局部共存二分法——基于 $\sum_{k\in\mathbb{N}_0} 1/c_k = \infty$（常返）与 $<\infty$（瞬态）——被一个新判据所取代：$\sum_{k\in\mathbb{N}_0} (1/c_k) \sum_{l=0}^k \Lambda_l([0,1]) = \infty$（聚类）与 $<\infty$（局部共存）。
• 在聚类模式下，由于非局部重采样与迁移的相互作用，系统表现出比Fleming-Viot情况更丰富的聚类形成动力学。
• 在局部共存模式下，初始存在的类型以正概率存活，而非如Fleming-Viot情况中以概率1存活，表明其存活机制更为复杂。
• 对于有限 $N$，系统中聚类与局部共存的二分法与 $N\to\infty$ 极限下保持一致，尽管聚类形成的确切性质与类型存活分布仍无法控制。