[论文解读] Renormalisation, wavelets and the Dirichlet-Shannon kernels

T. Thiemann|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2022

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在紧致空间（如环面）上构造正交小波基的创新方法，采用Dirichlet-Shannon核作为尺度函数。通过利用其紧致动量空间支持和显式的位置空间表达式，该方法实现了广义多分辨率分析（MRA），支持构造量子场论（CQFT）中的高效重整化，其光滑性和解析控制优于Haar小波，同时保持了局域性和截断特性。

ABSTRACT

In constructive quantum field theory (CQFT) it is customary to first regularise the theory at finite UV and IR cut-off. Then one first removes the UV cutoff using renormalisation techniques applied to families of CQFT's labelled by finite UV resolutions and then takes the thermodynamic limit. Alternatively, one may try to work directly without IR cut-off. More recently, wavelets have been proposed to define the renormalisation flow of CQFT's which is natural as they come accompanied with a multi-resolution analysis (MRA). However, wavelets so far have been mostly studied in the non-compact case. Practically useful wavelets that display compact support and some degree of smoothness can be constructed on the real line using Fourier space techniques but explicit formulae as functions of position are rarely available. Compactly supported wavelets can be periodised by summing over period translates keeping orthogonality properties but still yield to rather complicated expressions which generically lose their smoothness and position locality properties. It transpires that a direct approach to wavelets in the compact case is desirable. In this contribution we show that the Dirichlet-Shannon kernels serve as a natural scaling function to define generalised orthonormal wavelet bases on tori or copies of real lines respectively. These generalised wavelets are smooth, are simple explicitly computable functions, display quasi-local properties close to the Haar wavelet and have compact momentum supprt. Accordingly they have a built-in cut-off both in position and momentum, making them very useful for renormalisation applications.

研究动机与目标

• 开发一种系统化、直接的方法，在环面等紧致流形上构造正交小波基，避免依赖非紧致小波的周期化。
• 在紧致空间上建立基于尺度函数有理组合而非线性组合的广义多分辨率分析（MRA）框架。
• 证明Dirichlet-Shannon核可作为有效尺度函数，生成光滑、紧致支持的小波，具备内置的位置空间与动量空间截断特性。
• 表明该构造支持构造量子场论（CQFT）中行为良好的重整化流，相较于Haar小波缺乏光滑性和衰减性差的缺陷有显著改进。
• 提供一个数学上可处理、解析上可管理的重整化框架，保持局域性与正交性，同时支持显式计算。

提出的方法

• 本文在单位环面 $T^1 = [0,1)$ 上使用Dirichlet-Shannon核作为尺度函数，通过其傅里叶变换定义，具有紧致动量空间支持。
• 将尺度函数 $\phi_M(x)$ 定义为特征函数 $\chi_M(k)$ 的逆傅里叶变换，其中 $\chi_M(k)$ 在 $|k| \leq \pi M$ 时为1，否则为0，从而在位置空间得到类似sinc的函数。
• 小波函数由嵌套子空间 $V_M \subset V_{M'}$（$M < M'$）的正交补空间导出，其中 $W_M$ 构成分辨率差异的正交基。
• 核 $K_M$ 定义为对超过 $M$ 的高频分量的正交投影，表达式为 $K_M f = \sum_{|n| > (M-1)/2} \omega(n) \hat{f}(n) e_n$，其中 $\omega(n)$ 为权函数。
• 该方法确保生成的小波在动量空间中紧致支持，且在位置空间中显式可计算，其衰减特性由傅里叶变换控制。
• 该框架通过用适当的调和基（如 $S^2$ 上的球谐函数）替代傅里叶调和基，被推广至环面以外的紧致拓扑结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在环面等紧致空间上构造广义多分辨率分析（MRA），而无需依赖非紧致小波的周期化？
• RQ2 Dirichlet-Shannon核是否可作为有效尺度函数，生成在位置空间与动量空间均具有局域化特性的正交小波基？
• RQ3 基于Dirichlet-Shannon小波的重整化流在光滑性和衰减特性方面，与Haar小波流相比在解析上表现如何？
• RQ4 使用具有紧致动量支持的核对构造量子场论（CQFT）的重整化有何影响？
• RQ5 能否通过用适当的正交基替代傅里叶调和基，将MRA框架推广至其他紧致流形（如球面）？

主要发现

• Dirichlet-Shannon核生成的尺度函数在位置空间中显式可计算且光滑，动量空间中具有紧致支持，从而在环面上实现了定义良好的MRA。
• 生成的小波为正交基，具有准局域性（类似Haar小波），并在上确界范数下表现出快速衰减：$||K_M f||_{\infty} \leq M^{-1} \cdot C \cdot \sup_n |n^4 \hat{f}(n)|$，当 $M \to \infty$ 时衰减。
• 基于此MRA的重整化流在解析性质上显著优于Haar小波，尤其在光滑性和衰减性方面，归因于核的紧致动量支持。
• 该方法避免了在将非紧致情形下的紧致支持小波进行周期化时通常出现的光滑性损失和位置局域性破坏。
• 通过嵌套子空间 $V_M \subset V_{M'}$，该框架自然支持CQFT中的重整化流，每个 $W_M$ 提供分辨率差异的正交基。
• 该方法可通过用适当的正交基（如 $S^2$ 上的球谐函数）替代傅里叶调和基，推广至其他紧致拓扑结构，同时保持MRA结构。