[论文解读] Renormalizable Expansion for Nonrenormalizable Theories: II. Gauge Higher Dimensional Theories

D. I. Kazakov, G. S. Vartanov|ArXiv.org|Feb 1, 2007

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 15被引用 3

一句话总结

该论文将 1/Nf 展开推广至高维规范场论，通过费米子圈的重求和，证明了会出现一个无量纲的有效耦合，使理论在初始非可重正化的情况下仍可重正则化。该方法导致对数发散的微扰理论，且 beta 函数为非多项式形式，而原始的具有量纲的规范耦合常数作为质量参数存在，并被乘法重正则化。

ABSTRACT

The previously developed renormalizable perturbative 1/N-expansion in higher dimensional scalar field theories is extended to gauge theories with fermions. It is based on the $1/N_f$-expansion and results in a logarithmically divergent perturbation theory in arbitrary high odd space-time dimension. Due to the self-interaction of non-Abelian fields the proposed recipe requires some modification which, however, does not change the main results. The new effective coupling is dimensionless and is running in accordance with the usual RG equations. The corresponding beta function is calculated in the leading order and is nonpolynomial in effective coupling. The original dimensionful gauge coupling plays a role of mass and is also logarithmically renormalized. Comments on the unitarity of the resulting theory are given.

研究动机与目标

• 将此前仅适用于标量场论的 1/N 展开推广至任意奇数空间-时间维度中的费米子规范场论。
• 解决在 1/Nf 框架下非阿贝尔规范场论中 gauge 不变量与自相互作用的挑战。
• 证明所得微扰展开是可重正化的，其无量纲耦合通过标准的重整化群方程实现对数运行。
• 分析该理论的幺正性，特别是规范场 propagator 中复极点与谱函数的问题。
• 阐明原始具有量纲的耦合常数作为质量参数的作用，其与展开参数不同。

提出的方法

• 通过将 Nf 个费米子场与 U(1) 规范场耦合，并将相互作用强度按 1/√Nf 缩放，引入 1/Nf 展开，以抑制圈图因子。
• 将所有一阶真空极化图（费米子泡图）重求和，得到具有动量依赖极化函数的屏蔽光子 propagator。
• 推导出有效 propagator 的形式：Dμν(p) = -i/(p²) × (gμν - pμpν/p²) × 1/(1 + e²f(D)(-p²)^{D/2-2})，该形式抑制了高动量行为。
• 对规范场进行重正则化，并重新定义耦合常数以引入无量纲的有效耦合 h，取代原始的具有量纲的 e。
• 在奇数 D 维中使用维度正规化处理发散，并在主导阶推导出通过 beta 函数描述的 h 的运行行为。
• 分析 propagator 的解析结构，包括切割和可能的复极点，以评估幺正性，并解释可能的鬼态。

实验结果

研究问题

• RQ1 1/Nf 展开能否在高维奇数时空中的非阿贝尔规范场论中一致地推广？
• RQ2 三线和四线规范自相互作用的存在如何影响 1/Nf 展开及其导致的可重正化性？
• RQ3 有效耦合 h 在重整化群流中的行为如何？是否导致非多项式 beta 函数？
• RQ4 原始的具有量纲的耦合常数 e（现作为质量参数）在重正则化下如何变换？
• RQ5 考虑到规范 propagator 中出现复极点和切割，该理论在多大程度上保持幺正性？

主要发现

• 1/Nf 展开在高维规范场论中导出了一个可重正化的微扰框架，即使原始理论在形式上不可重正化。
• 有效耦合 h 为无量纲，并根据标准重整化群方程实现对数运行，主导阶下其 beta 函数为非多项式形式。
• 原始的具有量纲的耦合常数 e 被乘法重正则化，并作为质量参数起作用，而非展开参数。
• 重求和后的规范场 propagator 展现出改进的高能行为，抑制了发散，导致对数发散而非幂律发散。
• 尽管 propagator 中存在切割和可能的复极点，该理论在物理振幅层面仍保持幺正性，因为切割对应于标准物理态。
• 该方法适用于任意奇数空间-时间维度；偶数维度会引入对数项，使正规化更复杂，但预计未来工作可处理。