[论文解读] Renormalization Group Flow as Optimal Transport

Jordan Cotler, Semon Rezchikov|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 6

一句话总结

本文证明了波利钦的精确重整化群（ERG）方程等价于在功能 Wasserstein-2 度量下场论相对熵的梯度流，揭示了重整化群流与最优传输之间的深刻联系。关键结果是，相对熵的一种正则化形式是非微扰重整化群单调量，为分析重整化群流提供了新的信息论框架，并实现了新颖的数值与变分方法。

ABSTRACT

We establish that Polchinski's equation for exact renormalization group flow is equivalent to the optimal transport gradient flow of a field-theoretic relative entropy. This provides a compelling information-theoretic formulation of the exact renormalization group, expressed in the language of optimal transport. A striking consequence is that a regularization of the relative entropy is in fact an RG monotone. We compute this monotone in several examples. Our results apply more broadly to other exact renormalization group flow equations, including widely used specializations of Wegner-Morris flow. Moreover, our optimal transport framework for RG allows us to reformulate RG flow as a variational problem. This enables new numerical techniques and establishes a systematic connection between neural network methods and RG flows of conventional field theories.

研究动机与目标

• 建立波利钦的精确重整化群方程与最优传输理论中梯度流之间的严格数学等价性。
• 证明场论相对熵的正则化版本在重整化群流下是单调的，提供一种非微扰单调量。
• 将该框架推广至波利钦方程之外的其他ERG方案，包括韦格纳-莫里斯流。
• 将重整化群流重新表述为变分问题，从而实现新型数值技术并建立与神经网络方法的联系。
• 利用最优传输几何阐明重整化群粗粒化的信息论解释及其方案依赖性。

提出的方法

• 通过将功能 Wasserstein-2 度量识别为波利钦ERG方程背后的黎曼结构，推导出RG的最优传输梯度流方程。
• 将RG流表示为相对于 $ abla_{ ext{W}_2} $ 度量的相对熵 $ S(P_ u Vert Q_ u) $ 的梯度下降，其中 $ P_ u $ 是演化中的概率泛函，$ Q_ u $ 是定义方案的背景测度。
• 引入相对熵的正则化形式，以确保在泛函导数下梯度流的可积性与定义良好性。
• 将该框架应用于标量场论，通过泛函积分技术显式计算了自由与相互作用情况下的单调量。
• 利用最优传输表述开发了RG流的变分离散化，通过能量最小化实现数值实现。
• 使用具有光滑紧支撑导数的截断函数 $ K_ u(p^2) $，以确保流生成元的可微性与可积性，满足推导所需的所有条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 波利钦的精确重整化群方程能否被解释为概率泛函空间中的梯度流？
• RQ2 是否存在一种自然源于信息论原理的非微扰单调量，与重整化群流相关？
• RQ3 最优传输框架如何阐明重整化群流的方案依赖性及正则化的作用？
• RQ4 能否将重整化群流重新表述为变分问题，以实现新型数值算法？
• RQ5 该框架在多大程度上可推广至其他ERG方案，如韦格纳-莫里斯流？

主要发现

• 波利钦的ERG方程在数学上等价于场论相对熵在功能 $ ext{W}_2 $ 度量下的梯度流。
• 已证明相对熵的正则化形式在重整化群流下是单调的，提供了一种新的非微扰单调量。
• 在自由标量场情况下，单调量被显式计算，并显示随 $ u $ 单调递减，确认了单调性特征。
• 对于相互作用标量场，单调量通过微扰计算得出，仍保持单调性，证明了该框架的稳健性。
• RG流的变分表述使通过能量最小化实现数值离散化成为可能，为非微扰RG问题提供了新的计算方法。
• 该框架将常见RG方案（如韦格纳-莫里斯）中看似反直觉的特征解释为最优传输几何的自然结果。