[论文解读] Renormalization group for Anderson localization on high-dimensional lattices

B. L. Altshuler, V. E. Kravtsov+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2024

Random Matrices and Applications被引用 5

一句话总结

本文构建了跨维度的安德森局域化的尺度变分群（renormalization-group 框架），通过对分形维度 D1 的 β 函数将二维 ε-展开结果与无限维极限连接起来，并分析了无关修正及对多体局域化的影响。

ABSTRACT

We discuss the dependence of the critical properties of the Anderson model on the dimension $d$ in the language of $β$-function and renormalization group recently introduced in Ref.[arXiv:2306.14965] in the context of Anderson transition on random regular graphs. We show how in the delocalized region, including the transition point, the one-parameter scaling part of the $β$-function for the fractal dimension $D_{1}$ evolves smoothly from its $d=2$ form, in which $β_2\leq 0$, to its $β_\infty\geq 0$ form, which is represented by the regular random graph (RRG) result. We show how the $ε=d-2$ expansion and the $1/d$ expansion around the RRG result can be reconciled and how the initial part of a renormalization group trajectory governed by the irrelevant exponent $y$ depends on dimensionality. We also show how the irrelevant exponent emerges out of the high-gradient terms of expansion in the nonlinear sigma-model and put forward a conjecture about a lower bound for the fractal dimension. The framework introduced here may serve as a basis for investigations of disordered many-body systems and of more general non-equilibrium quantum systems.

研究动机与目标

• 激发理解安德森局域化性质如何依赖于空间维度，以及如何在受控条件下取得无限维极限。
• 引入一个单参数尺度描述，使用由本征函数香农熵推导的分形维度 D1。
• 将低维分析处理与高维/膨胀图极限衔接，以阐明无序系统。
• 提供一个可用于数值数据的定量框架，适用于多体局域化和非平衡量子系统。

提出的方法

• 定义分形维度的 β 函数：beta(D)=d ln D / d ln N，并将其包络线作为 RG 轨迹研究。
• 从对 ln N 的平均本征函数香农熵 S(L) 的导数计算 D(L)。
• 使用单参数尺度来解释 RG 轨迹，并从数值数据中提取 Dc、alpha_c 和 nu。
• 分析有限尺寸尺度以及来自定位场论中高梯度项的无关指数组 y。
• 将临界性附近的 β 函数与非线性σ-模型的 ε 展开结果相关联，并与 RRG 极限进行比较。

Figure 1: Renormalization group (RG) trajectories (solid lines) for $3d$ Anderson model obtained from the numerical calculation of the eigenfunction Shannon entropy $S(L)$ and the corresponding finite-size fractal dimension $D(L)=dS(L)/d\ln N$ . The envelope of RG trajectories (black dots) is the si

实验结果

研究问题

• RQ1 当维度 d 变化时，分形维度 D1 在重整化群尺度下如何演化？
• RQ2 单参数尺度 β 函数是否能够描述跨 d=2、3、4、5、6 的安德森跃迁并趋近于 RRG/无限维极限？
• RQ3 在有限尺寸轨迹中，无关修正（指数 y）的作用是什么，它们如何随 d 演化？
• RQ4 围绕 d=2 的 ε 展开结果如何与在更高维中从 D1 推导的数值 β 函数相关？
• RQ5 这一框架对多体局域化及相关非平衡量子系统有何意义？

主要发现

• 分形维度的 β 函数在去局域化区域和转变点从 d=2 形式平滑演化到 RRG/无限维形式。
• 无关指数控制 RG 轨迹的初始部分，且随着维度增加而变得更显著，提示高维中存在修改后的流向。
• 临界分形维度 Dc 在 d→∞ 时趋于零，并且在有限 d 下被 1/d 的有限函数下界所界定，支持膨胀图上的两域定位图像。
• 在接近 d=2 时，β 函数在 D=1 附近与 ε 展开预测一致，在 D=1 处得到有限斜率 alpha1，在临界点得到有限 alpha_c，扰动区间出现对称关系。
• 从单参数 β-曲线数值提取 Dc、alpha_c、nu，在某些维度上 nu 值接近半经典自洽理论的预测，但存在偏差，挑战高阶中的 VW 理论。

Figure 2: A sketch of the full $\beta$ -function. (Upper panel) Behavior at finite dimension, where $0<D_{c}<1$ and the irrelevant direction at finite size becomes increasingly important as $d$ grows. (Lower panel) Behavior on expander graphs (as the RRG), where, near the critical value of $W$ , the