[论文解读] Renormalization group method and canonical perturbation theory

Yoshiyuki Y. Yamaguchi, Yasusada Nambu|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 1999

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文表明，对于哈密顿系统中可积部分关于动量变量线性的情形，重整化群（RG）方法在小参数的二阶展开内，可得到与标准摄动理论完全相同的近似解。通过在作用量-角度坐标系中应用RG方法，本文在该背景下建立了两种方法的等价性，为哈密顿动力学中的摄动方法提供了新视角。

ABSTRACT

Renormalization group method is one of the most powerful tool to obtain approximate solutions to differential equations. We apply the renormalization group method to Hamiltonian systems whose integrable parts linearly depend on action variables. We show that the renormalization group method gives the same approximate solutions as canonical perturbation theory up to the second order of a small parameter with action-angle coordinates.

研究动机与目标

• 研究重整化群（RG）方法在可积部分关于动量变量线性之哈密顿系统中的适用性。
• 从精度和解的结构角度，比较RG方法与标准摄动理论。
• 确定RG方法是否在小参数的二阶展开内，重现与标准摄动理论相同的近似解。
• 在作用量-角度变量的背景下，建立RG方法与标准摄动理论之间的正式联系。

提出的方法

• 将RG方法应用于可积部分关于动量变量线性之哈密顿系统。
• 分析在作用量-角度坐标系中进行，该坐标系在标准摄动理论中为标准形式。
• 引入小参数，以在小参数的二阶展开内进行摄动求解。
• 通过摄动展开中的重整化过程，系统性地消除长期项（secular terms）。
• 将RG方法所得解与标准摄动理论所得解进行直接比较。
• 按小参数展开的各阶顺序，验证两种方法解的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于可积部分关于动量变量线性之哈密顿系统，重整化群方法是否产生与标准摄动理论相同的近似解？
• RQ2 在小参数的二阶展开内，RG方法所得解与标准摄动理论所得解相比如何？
• RQ3 RG方法能否有效处理哈密顿系统摄动展开中的长期项？
• RQ4 在作用量-角度坐标下，RG方法与标准摄动理论之间存在何种正式关系？

主要发现

• 重整化群方法所得近似解在小参数的二阶展开内，与标准摄动理论完全相同。
• 该等价性仅在可积部分关于动量变量线性之哈密顿系统中成立。
• RG方法通过重整化成功消除了长期项，其结构与标准摄动理论一致。
• 使用作用量-角度坐标使两种方法的直接比较成为可能。
• 结果证实了RG方法作为标准摄动理论在该类系统中的替代方法，具有一致性和有效性。