[论文解读] Renyi-entropic bounds on quantum communication

Wim van Dam, Patrick Hayden|ArXiv.org|Apr 17, 2002

Quantum Information and Cryptography参考文献 24被引用 29

一句话总结

本文提出了基于Rényi熵的量子通信复杂度下界，用于在纠缠辅助下转换两体量子态，特别针对内积函数和移位二次特征函数等具体问题。通过分析边缘密度矩阵的Rényi熵，作者推导出紧致的下界，表明即使在拥有无限多EPR对的情况下，通信需求也近乎最优。

ABSTRACT

In this article we establish new bounds on the quantum communication complexity of distributed problems. Specifically, we consider the amount of communication that is required to transform a bipartite state into another, typically more entangled, state. We obtain lower bounds in this setting by studying the Renyi entropy of the marginal density matrices of the distributed system. The communication bounds on quantum state transformations also imply lower bounds for the model of communication complexity where the task consists of the the distributed evaluation of a function f(x,y). Our approach encapsulates several known lower bound methods that use the log-rank or the von Neumann entropy of the density matrices involved. The technique is also effective for proving lower bounds on problems involving a promise or for which the "hard" distributions of inputs are correlated. As examples, we show how to prove a nearly tight bound on the bounded-error quantum communication complexity of the inner product function in the presence of unlimited amounts of EPR-type entanglement and a similarly strong bound on the complexity of the shifted quadratic character problem.

研究动机与目标

• 建立两体量子态之间态转换的新型量子通信复杂度下界。
• 推广并改进基于对数秩和von Neumann熵的现有下界技术。
• 解决具有相关输入分布和承诺约束的问题，这些问题是先前方法难以处理的。
• 分析在存在无限EPR纠缠的情况下，量子协议计算分布式函数（如内积和二次特征）的通信代价。
• 展示Rényi熵作为工具在有界误差量子通信设置中证明近乎紧致下界的有效性。

提出的方法

• 以两体量子态约化密度矩阵的Rényi熵为主要分析工具。
• 应用定理4.6，将态转换的通信代价与初始态和目标态的Rényi熵联系起来。
• 利用Schmidt分解刻画纠缠，并推导边缘密度矩阵的谱。
• 采用基于保真度的距离度量（Uhlmann保真度）量化态转换中的近似误差。
• 通过构造具有已知谱的初始态和目标态（如对输入对的均匀叠加），将该方法应用于具体问题。
• 利用二次特征的平移性质，计算最终态的谱特性并推导熵下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 将初始两体态转换为更纠缠的目标态所需的最小量子通信量是多少？
• RQ2 Rényi熵如何被用于推导超越von Neumann熵或对数秩方法的量子通信复杂度下界？
• RQ3 Rényi熵技术能否有效处理具有非均匀或相关输入分布的问题，如承诺问题？
• RQ4 在拥有无限EPR对的情况下，内积函数的有界误差量子通信复杂度是多少？
• RQ5 在EPR辅助协议下，计算移位二次特征函数的通信代价是多少？

主要发现

• 对于具有EPR纠缠的内积函数，有界误差通信复杂度下界为 $ n + 2/log(1 - 2\epsilon) $，表明近乎最优。
• 对于 $ \mathbb{F}_q $ 上的二次特征函数，通信复杂度满足 $ \log(q-1) - 2 + 2\log(1 - \epsilon) \leq Q^{(*)}_{\epsilon}(g) \leq \lceil \log q \rceil $，提供了近乎紧致的界。
• Rényi熵方法推广并改进了基于对数秩和von Neumann熵的先前下界技术。
• 该方法成功处理了具有相关输入分布的承诺问题，如二次特征示例所示。
• 边缘态 $ \psi_A $ 的Rényi熵为 $ \log(q-1) $，而 $ \varphi_A $ 的Rényi熵小于2，从而支持强下界。
• 通过使用 $ (\alpha, \beta) = (1/2, \infty) $ 的Rényi熵，推导出下界 $ \bar{Q}^{(*)}_{\epsilon}(\psi_{AB}|\varphi_{AB}) \geq \log(q-1) - 2 + 2\log(1 - \epsilon) $。