[论文解读] Reoptimization via Gradual Transformations

Noam Solomon, Shay Solomon|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 37被引用 2

一句话总结

本文提出了一种重优化框架，通过多个阶段逐步将次优解 M 转换为更优的解 M'，每个阶段最多进行 Δ 次更改，同时保持可行性并在 ε 范围内维持近似最优性。该框架提出了一种黑箱归约方法，可将任意更新时间为 T 且具有 β-近似比的动态算法，转化为具有 O(1/ε) 最坏情况 recourse 和 (β(1+ε))-近似比的算法，显著改善了 recourse 边界，且性能开销极小。

ABSTRACT

This paper introduces a natural reoptimization meta-problem, which should be particularly relevant in faulty or dynamic networks. Fix any $\Delta > 0, \epsilon > 0$. Given two solutions $M$ and $M'$ to some graph optimization problem, where $M'$ is better than $M$, the goal is to gradually transform $M$ into $M'$ throughout a sequence of phases, each making at most $\Delta$ changes to the current (gradually transformed) solution, so that the solution at the end of each phase is feasible and at least as good, up to some $\epsilon$ dependence, as the original solution $M$. We study (approximate) maximum cardinality matching, maximum weight matching, and minimum spanning forest, and design near-optimal transformations for these problems. We demonstrate the applicability of this meta-problem to dynamic graph matchings. The number of changes to the maintained matching per update step, known as the recourse bound, is an important measure of quality. Nevertheless, the worst-case recourse bounds of almost all known dynamic matching algorithms is significantly larger than the corresponding update times. We fill in this gap via a surprisingly simple black-box reduction: Any dynamic algorithm for maintaining a $\beta$-approximate maximum cardinality matching with update time $T$, for any $\beta \ge 1, T, \epsilon > 0$, can be transformed into an algorithm for maintaining a $(\beta(1 +\epsilon))$-approximate maximum cardinality matching with update time $T + O(1/\epsilon)$ and a worst-case recourse bound of $O(1/\epsilon)$. This result generalizes for approximate maximum weight matching. As a corollary of our reduction, several key dynamic approximate matching algorithms in this area, which achieve low update time bounds but poor worst-case recourse bounds, are strengthened to achieve near-optimal worst-case recourse bounds with essentially no loss in the update time.

研究动机与目标

• 解决动态匹配算法中低更新时间与差的最坏情况 recourse 边界之间的差距。
• 设计一种通用的重优化元问题，以实现在动态或故障网络中渐进式、可行且近似最优的解转换。
• 开发一种黑箱转换方法，在保持更新时间的同时，显著降低近似动态匹配算法的最坏情况 recourse。
• 将该方法推广至最大基数匹配和最大权匹配问题。

提出的方法

• 引入一种重优化元问题，其中解在多个阶段内从 M 渐进式地转换为 M'，每个阶段最多有 Δ 次更改。
• 确保每个中间解保持可行性，并且在质量上与原始解 M 的 ε-近似范围内。
• 为最大基数匹配、最大权匹配和最小生成森林设计近似最优的转换序列。
• 应用黑箱归约：给定任意具有更新时间 T 和 β-近似比的动态算法，将其转换为具有 O(1/ε) 最坏情况 recourse 和 (β(1+ε))-近似比的算法。
• 利用该转换在最小化每步更新更改次数的同时，保持解的质量。
• 将该归约方法推广至基数和权重匹配问题，同时保持更新效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种渐进式重优化框架，以在图的动态更新过程中保持解的质量？
• RQ2 如何在不牺牲更新时间效率的前提下，降低动态匹配算法的最坏情况 recourse 边界？
• RQ3 是否存在一种黑箱转换方法，可将任意动态匹配算法转化为具有近乎最优 recourse 的版本，同时保持近似质量？
• RQ4 该转换能否推广至最大基数匹配和最大权匹配问题？
• RQ5 在动态近似匹配中，更新时间与 recourse 边界之间的权衡是什么，能否实现优化？

主要发现

• 任何保持 β-近似最大基数匹配且更新时间为 T 的动态算法，均可被转换为具有 O(1/ε) 最坏情况 recourse 和 (β(1+ε))-近似比的算法。
• 该转换仅将更新时间增加 O(1/ε)，在保持效率的同时显著改善 recourse 边界。
• 该方法可推广至近似最大权匹配问题，同时保持更新时间与 recourse 之间的相同权衡。
• 多个现有动态匹配算法因最坏情况 recourse 边界较差而被强化，实现了近乎最优的 recourse，且性能损失极小。
• 黑箱归约方法可在不修改底层算法结构的前提下，实现近乎最优的 recourse 边界。