[论文解读] Reparametrization Invariance and the Schrödinger Equation

V. I. Tkach, A. Pashnev+1 more|ArXiv.org|Dec 30, 1999

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文提出一种两阶段方法，通过在非重参数化不变系统中引入约束来强制实现重参数化不变性，从而构建时变薛定谔方程。该方法将时变薛定谔方程作为第一类约束导出，并可推广至与世界线超引力耦合的 $n=2$ 超对称量子力学，最终得到一种平方根作用量的表述形式。

ABSTRACT

In the present work we consider a time-dependent Schrödinger equation for systems invariant under the reparametrization of time. We develop the two-stage procedure of construction such systems from a given initial ones, which is not invariant under the time reparametrization. One of the first-class constraints of the systems in such description becomes the time-dependent Schrödinger equation. The procedure is applicable in the supersymmetric theories as well. The $n=2$ supersymmetric quantum mechanics is coupled to world-line supergravity, and the local supersymmetric action is constructed leading to the square root representation of the time-dependent Schrödinger equation.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，通过重参数化不变性从非不变系统推导出时变薛定谔方程。
• 表明时变薛定谔方程在约束哈密顿框架下自然地作为第一类约束出现。
• 将形式化方法推广至与世界线超引力耦合的 $n=2$ 超对称量子力学。
• 构建一个局部超对称作用量，使其在物理 sector 中导出时变薛定谔方程的平方根表示。

提出的方法

• 应用两阶段程序，将一个非重参数化不变的系统转化为在时间重参数化下不变的系统。
• 引入一个新的时间变量及其对应的规范对称性，以实现对任意时间重参数化的不变性。
• 推导出带有约束的哈密顿形式，其中一个第一类约束对应于时变薛定谔方程。
• 通过将 $n=2$ 量子力学与世界线超引力耦合，构建超对称扩展。
• 使用平方根作用量描述动力学，确保局域超对称性和重参数化不变性。
• 验证所得运动方程在物理 sector 中重现了时变薛定谔方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从一个初始不具备重参数化不变性的系统中推导出时变薛定谔方程？
• RQ2 时变薛定谔方程在重参数化不变系统约束结构中扮演何种角色？
• RQ3 该形式化方法能否推广至保持局域超对称性的超对称量子系统？
• RQ4 在世界线超引力的背景下，平方根作用量表述与标准薛定谔方程有何关系？
• RQ5 在哈密顿框架中，将时变薛定谔方程解释为第一类约束具有何种物理意义？

主要发现

• 时变薛定谔方程在重参数化不变系统的哈密顿形式中自然地作为第一类约束出现。
• 两阶段构造方法成功地将非不变系统转化为重参数化不变系统，且薛定谔方程是其中的关键约束。
• 该方法可扩展至 $n=2$ 超对称量子力学，同时保持局域超对称性。
• 通过使用平方根形式，构建了一个局域超对称作用量，其在物理 sector 中导出时变薛定谔方程。
• 该形式化方法表明，重参数化不变性为时变薛定谔方程提供了更深层的几何与动力学起源。
• 该框架将时间演化与规范对称性统一起来，暗示了量子时间演化的几何基础。