[论文解读] Reparametrizations of vector fields and their shift maps

Sergiy Maksymenko|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文证明了向量场 $ F $ 的流的光滑重参数化所定义的位移映射空间 $ Sh(F) $，在任意光滑正函数 $ \mu $ 的重参数化下保持不变。关键结果是：当且仅当存在一个光滑正函数 $ \mu $，使得 $ \mathbf{F}(x, \mu(x)) \equiv x $，即每条轨道在时间 $ \mu(x) $ 后返回起点时，$ F $ 可被重参数化以生成一个圆作用。

ABSTRACT

Let $M$ be a smooth manifold, $F$ be a smooth vector field on $M$, and $F_t$ be the local flow of $F$. Denote by $Sh(F)$ the space of smooth maps $h:M o M$ of the following form: $h(x) = F_{f(x)}(x)$, where $f:M o\mathbb{R}$ runs over all smooth functions on $M$ which can be substituted into the flow $F_t$ instead of time. This space often coincides with the identity component of the group of diffeomorphisms preserving orbits of $F$. In this note it is shown that $Sh(F)$ is not changed under reparametrizations and pushforwards of $F$. As an application it is proved that a vector field $F$ without non-closed orbits can be reparametrized to induce a circle action on $M$ if and only if there exists a smooth function $f:M o (0,+\infty)$ such that for each non-singular point $x$ of $M$, the value $f(x)$ is an integer multiple of the period of $x$ with respect to $F$.

研究动机与目标

• 研究光滑流形 $ M $ 上光滑向量场 $ F $ 的位移映射空间 $ Sh(F) $ 在重参数化下的不变性。
• 刻画向量场 $ F $ 在何种条件下可被重参数化以在 $ M $ 上生成光滑的圆作用。
• 建立一个通过光滑正函数 $ \mu $ 确定的拓扑与动力学条件，确保 $ F $ 的流在时间 $ \mu(x) $ 后返回初始点。
• 阐明 $ F $ 的位移映射 $ \varphi $、其重参数化版本 $ \mu F $ 以及由此产生的动力学之间的关系，特别是在周期性与微分同胚性质方面的表现。

提出的方法

• 通过 $ \varphi: \mathsf{func}(F) \to C^\infty(M,M) $ 定义位移映射，其中 $ \varphi(\alpha)(x) = \mathbf{F}(x, \alpha(x)) $，其像为 $ Sh(F) $。
• 利用流重参数化公式 $ \mathbf{G}(x,s) = \mathbf{F}(x, \alpha(x,s)) $，其中 $ \alpha(x,s) = \int_0^s \mu(\mathbf{G}(x,\tau)) d\tau $，建立 $ F $ 与 $ \mu F $ 的流之间的关系。
• 证明对任意光滑严格正函数 $ \mu $，有 $ Sh(\mu F) = Sh(F) $，从而表明位移映射空间在重参数化下保持不变。
• 建立 $ F $ 的位移映射 $ \varphi $ 关于周期函数 $ \theta $ 的周期性当且仅当 $ \mathbf{F}(x, \theta(x)) \equiv x $，将周期性与返回时间函数的存在性联系起来。
• 利用 $ \mu F $ 的流，推导出逆重参数化映射 $ \xi: \mathsf{func}(G) \to \mathsf{func}(F) $，定义为 $ \xi(\gamma)(x) = \int_0^{\gamma(x)} \mu(\mathbf{G}(x,\tau)) d\tau $。
• 应用圆作用理论，证明当 $ G = \mu F $ 时，有 $ \mathbf{G}(x,1) \equiv x $ 当且仅当 $ \mathbf{F}(x, \mu(x)) \equiv x $，从而得到诱导圆作用的充要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当向量场 $ F $ 被光滑正函数 $ \mu $ 重参数化时，位移映射空间 $ Sh(F) $ 是否保持不变？
• RQ2 在何种条件下，向量场 $ F $ 可被重参数化以在 $ M $ 上诱导出光滑的圆作用？
• RQ3 位移映射的周期函数与重参数化函数 $ \mu $ 之间的确切关系是什么？
• RQ4 位移映射空间 $ Sh(F) $ 在重参数化下的不变性如何影响位移映射的拓扑性质，如开性或局部单射性？

主要发现

• 位移映射空间 $ Sh(F) $ 在重参数化下保持不变：对任意光滑严格正函数 $ \mu: M \to (0,\infty) $，有 $ Sh(\mu F) = Sh(F) $。
• 向量场 $ F $ 的位移映射 $ \varphi $ 关于周期函数 $ \theta $ 具有周期性，当且仅当对所有 $ x \in M $，有 $ \mathbf{F}(x, \theta(x)) \equiv x $。
• 向量场 $ F $ 可被重参数化以诱导光滑圆作用，当且仅当存在一个光滑正函数 $ \mu $，使得 $ \mathbf{F}(x, \mu(x)) \equiv x $。
• 若 $ \mu $ 沿 $ F $ 的轨道为常数，则重参数化流 $ \mu F $ 的周期函数为 $ \bar{\theta}(x) = \theta(x)/\mu(x) $。
• 位移映射 $ \varphi $ 为 $ \mathsf{S}^{r,s} $-开当且仅当 $ \mu F $ 的位移映射为 $ \mathsf{S}^{r,s} $-开，这是由于 $ Sh(F) $ 的不变性所致。
• 在 $ F $ 的奇点 $ z $ 处，$ F $ 的线性化形式必须为 $ \sum_{i=1}^k (-A_i y_i \partial_{x_i} + A_i x_i \partial_{y_i}) $，反映出局部正规型中存在 $ k $ 个椭圆方向。