[论文解读] Repdigits as products of consecutive balancing or Lucas-balancing numbers

S. G. Rayaguru, G. K. Panda|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2018

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文研究了重复数码数（即各位数字相同的数）是否可以作为平衡数或卢卡斯-平衡数出现，或作为连续此类数的乘积。通过模运算和可除性序列的性质，作者证明：除 B₁=1 和 B₂=6 外，没有任何平衡数是其他数码的重复数码数；且任意连续的平衡数或卢卡斯-平衡数的乘积均不能构成多于一位的重复数码数。唯一的卢卡斯-平衡重复数码数是 C₁=3 和 C₃=99。

ABSTRACT

Repdigits are natural numbers formed by the repetition of a single digit. In this paper, we explore the presence of repdigits in the product of consecutive balancing or Lucas-balancing numbers.

研究动机与目标

• 确定重复数码数（即各位数字相同的数）是否出现在平衡数或卢卡斯-平衡数序列中。
• 研究连续的平衡数或卢卡斯-平衡数的乘积是否能构成重复数码数。
• 解决关于这些序列中重复数码数存在的开放性问题，特别是所有数码均为6的重复数码数。
• 应用模运算和可除性性质，排除已知小规模情况之外的此类重复数码数的存在。

提出的方法

• 通过分析平衡数和卢卡斯-平衡数序列模小整数（3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 20）的模运算，推导出周期性的余数模式。
• 利用平衡数序列的强可除性性质（Bₘ ∣ Bₙ 当且仅当 m ∣ n），在假设其为重复数码数时导出矛盾。
• 将丢番图方程 Bₙ = a·(10ᵐ−1)/9 和 Cₙ = a·(10ᵐ−1)/9 对各种整数取模，以排除可能的数码值 a。
• 对连续项的乘积 BₙBₙ₊₁ 和 CₙCₙ₊₁⋯Cₙ₊ₖ 模 5、7 和 8 进行分析，证明其余数不可能与任何重复数码数匹配。
• 对每个数码 a ∈ {1, 2, ..., 9} 进行情况分析，系统性地排除两种序列中重复数码数的形式。
• 利用卢卡斯-平衡数恒为奇数的性质，将可能的 a 值限制在 {1, 3, 5, 7, 9}，并进一步通过模约束排除相关情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平衡数序列中是否存在其他重复数码数（除 1 和 6 外）？
• RQ2 两个或更多连续平衡数的乘积能否构成多于一位的重复数码数？
• RQ3 是否存在除 C₁ = 3 和 C₃ = 99 外的卢卡斯-平衡数是重复数码数？
• RQ4 连续卢卡斯-平衡数的乘积能否构成多于一位的重复数码数？
• RQ5 是否存在某个平衡数是重复单位的 6 倍（例如 66、666 等）？

主要发现

• 唯一为重复数码数的平衡数是 B₁ = 1 和 B₂ = 6；除 6 外，没有任何其他平衡数是其他数码的重复数码数。
• 任意两个连续平衡数的乘积均不可能是多于一位的重复数码数，尽管 B₁B₂ = 6 是一位重复数码数。
• 唯一为重复数码数的卢卡斯-平衡数是 C₁ = 3 和 C₃ = 99；没有更大的卢卡斯-平衡数是重复数码数。
• 任意连续卢卡斯-平衡数序列的乘积均不可能是多于一位的重复数码数。
• 若一个平衡数是所有数码均为 6 的重复数码数，则必须满足 n ≡ 14 (mod 96) 且 m ≡ 1 (mod 6)，但目前尚未发现除 B₂ = 6 外的此类数。
• 本文未解决是否存在某个平衡数是重复单位的 6 倍（如 66、666 等）的问题，尽管在前 200 项中未发现此类数。