[论文解读] Repetitive Delone Sets and Quasicrystals

J. C. Lagarias, P. A. B. Pleasants|ArXiv.org|Sep 6, 1999

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 42被引用 5

一句话总结

本文引入并分析了重复性Delone集作为准晶中非周期性结构的建模框架，通过函数M(T)定义重复性，该函数界定了找到所有T-块所需的半径。研究证明线性重复性集（M(T) = O(T)）具有严格均匀的块频率且可衍射，提出其作为“完美有序准晶”——一种具有高度有序性与可测量复杂度的最小非周期类。

ABSTRACT

This paper considers the problem of characterizing the simplest discrete point sets that are aperiodic, using invariants based on topological dynamics. A Delone set whose patch-counting function N(T), for radius T, is finite for all T is called repetitive if there is a function M(T) such that every ball of radius M(T)+T contains a copy of each kind of patch of radius T that occurs in the set. This is equivalent to the minimality of an associated topological dynamical system with R^n-action. There is a lower bound for M(T) in terms of N(T), namely N(T) = O(M(T)^n), but no general upper bound. The complexity of a repetitive Delone set can be measured by the growth rate of its repetitivity function M(T). For example, M(T) is bounded if and only if the set is a crystal. A set is called is linearly repetitive if M(T) = O(T) and densely repetitive if M(T) = O(N(T))^{1/n}). We show that linearly repetitive sets and densely repetitive sets have strict uniform patch frequencies, i.e. the associated topological dynamical system is strictly ergodic. It follows that such sets are diffractive. In the reverse direction, we construct a repetitive Delone set in R^n which has M(T) = O(T(log T)^{2/n}(log log log T)^{4/n}), but does not have uniform patch frequencies. Aperiodic linearly repetitive sets have many claims to be the simplest class of aperiodic sets, and we propose considering them as a notion of "perfectly ordered quasicrystal".

研究动机与目标

• 通过拓扑动力系统的不变性表征最简单的非周期离散点集。
• 通过函数M(T)定义并分析Delone集中的重复性，测量块的重复密度。
• 建立重复性Delone集具有均匀块频率且可衍射的条件。
• 提出线性重复性集作为‘完美有序准晶’的规范类，具有最小非周期性秩序。

提出的方法

• 引入重复性函数M(T)，定义为最小半径，使得每个半径为M(T)+T的球都包含该集合中的所有T-块。
• 利用拓扑动力学证明：Delone集的壳上ℝⁿ作用的极小性等价于重复性。
• 应用遍历理论证明线性重复性集（M(T) = O(T)）是严格遍历的，从而蕴含均匀块频率。
• 构造一个反例，其中M(T) = O(T(log T)^{2/n}(log log log T)^{4/n})，该集合重复性成立但不具有均匀块频率。
• 依赖于块计数函数N(T)及其与M(T)关系的渐近分析，其中N(T) = O(M(T)^n)为普遍成立的基本界。
• 利用严格均匀块频率的概念，将动力系统理论与物理衍射性质联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 重复性函数M(T)需满足何种条件，才能保证Delone集具有均匀块频率？
• RQ2 是否存在非均匀重复性的重复性Delone集？若存在，其M(T)增长的复杂度可达到何种程度？
• RQ3 是否存在一类自然的非周期集合，表现出最大秩序性同时保持非周期性？
• RQ4 M(T)的增长率如何与集合的衍射性质相关联？
• RQ5 具有长程有序性的非周期Delone集的最小复杂度类是什么？

主要发现

• 线性重复性集——即M(T) = O(T)——具有严格均匀的块频率，意味着其关联的动力系统是严格遍历的。
• 密集重复性集（定义为M(T) = O(N(T))^{1/n}）也具有严格均匀的块频率，因此是可衍射的。
• 不等式N(T) = O(M(T)^n)对所有重复性Delone集普遍成立，确立了块复杂性与重复性之间的基本联系。
• 存在一个重复性Delone集，其M(T) = O(T(log T)^{2/n}(log log log T)^{4/n})，但不具有均匀块频率，表明线性重复性并非重复性的必要条件。
• 由于其高度有序性与最小非周期性，线性重复性集被提议作为‘完美有序准晶’的自然模型。
• 本文建立：在Delone集的语境下，严格遍历性（因此也包括衍射性）等价于线性重复性。