[论文解读] Reply to "Comment on Sochi's variational method for generalised Newtonian flow" by Pritchard and Corson

Taha Sochi|arXiv (Cornell University)|May 29, 2015

Rheology and Fluid Dynamics Studies参考文献 8被引用 2

一句话总结

本文为塔哈·索奇（Taha Sochi）关于圆形管道中广义牛顿流体流动的变分法辩护，以回应普里查德（Pritchard）与科森（Corson）的批评。文章主张，基于总应力最小化的变分公式在数学上严谨且有效，适用于所有非粘塑性广义牛顿流体，而不仅限于幂律流体；通过重新推导关键方程，运用欧拉-拉格朗日（Euler-Lagrange）与狄利克雷（Dirichlet）原理，证明其与动力学公式的等价性，并驳回了关于该方法存在固有局限性或平凡性的指控。

ABSTRACT

In this article we challenge the claim that the previously proposed variational method to obtain flow solutions for generalized Newtonian fluids in circular tubes and plane slits is exact only for power law fluids. We also defend the theoretical foundation and formalism of the method which is based on minimizing the total stress through the application of the Euler-Lagrange principle.

研究动机与目标

• 反驳普里查德与科森提出的观点，即该变分法仅对幂律流体精确成立。
• 确立基于应力最小化的1D流动系统中变分原理的数学与物理合理性。
• 证明变分公式（公式8）不仅适用于幂律流体，而且普遍适用于非粘塑性广义牛顿流体。
• 阐明变分公式（欧拉-拉格朗日与狄利克雷）之间的区别，并论证一种形式的失败并不否定该原理。
• 表明公式（1）中使用偏导数并非根本性问题，只要应用语境一致即可。

提出的方法

• 通过应力平衡式 dτ/dr = G 出发，运用欧拉-拉格朗日形式化方法重新推导关键方程（d/dr(μ dγ/dr) = 0）。
• 将欧拉-拉格朗日方程应用于泛函 f = μγ，得出 d/dr(γ dμ/dr) = 0，证明其与原始形式在数学上等价。
• 表明两种形式（d/dr(γ dμ/dr) = 0 与 d/dr(μ dγ/dr) = 0）等价，因为它们的和为常数，从而确保两者均能独立完整地描述系统动力学。
• 采用先前工作[2]中基于狄利克雷的变分方法，证明可对多种流变行为获得精确的数值解。
• 主张某些推导中出现的“平凡性”（如 0=0）是冗余运算的结果，而非变分原理本身的缺陷。
• 建立变分与动力学公式的等价性，表明两者均描述同一物理系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 变分公式 d/dr(μ dγ/dr) = 0 是否对所有非粘塑性广义牛顿流体有效，还是仅对幂律流体成立？
• RQ2 能否通过狄利克雷原理或其他方法，数学上证明基于应力最小化的变分原理的合理性？
• RQ3 变分方程中使用偏导数是否损害其有效性，还是仅属记号问题？
• RQ4 即使需借助数值方法，该变分法是否仍能对复杂流变行为产生精确解？
• RQ5 变分与动力学公式之间的表观等价性是数学巧合，还是反映了更深层次的物理一致性？

主要发现

• 变分公式 d/dr(μ dγ/dr) = 0 在数学上等价于动力学方程 dτ/dr = G，且两者均完整描述系统动力学。
• 两种形式（d/dr(γ dμ/dr) = 0 与 d/dr(μ dγ/dr) = 0）的等价性源于其和为常数，从而保证每种形式均可独立完整地捕捉系统行为。
• 该方法不限于幂律流体；本文证明其在圆形管道与平面狭缝中对九种不同流变模型均有效。
• 只要应用语境一致且方程正确使用，公式（1）中使用偏导数并非根本缺陷。
• 导致 0 = 0 的推导是有效但无产出的数学操作，不代表变分原理存在不一致。
• 基于狄利克雷的变分方法（如[2]中所用）可为广义牛顿流体产生精确的数值解，且独立于欧拉-拉格朗日形式化。