[论文解读] Reply to "Comment on 'Theoretical analysis of quantum turbulence using the Onsager ideal turbulence theory'"

Tomohiro Tanogami|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2021

Quantum, superfluid, helium dynamics参考文献 19被引用 1

一句话总结

本文通过基于密度加权速度场 w = √ρv 的 Besov 正则性改进分析，捍卫了量子湍流中的双级联情景，即先经历类似 Richardson 的能量级联，随后发生具有 k⁻³ 谱的量子应力级联。作者反驳了关于量子涡旋量化、正则性假设以及量子应力级联物理有效性的批评，表明在更严格的数学处理下，级联结构依然稳健。

ABSTRACT

We refute the criticism expressed in a Comment by Krstulovic, L'vov, and Nazarenko [arXiv:2107.10598] on our paper [Phys. Rev. E 103, 023106 (2021)]. We first show that quantization of circulation is not ignored in our analysis. Then, we propose a more sophisticated analysis to avoid a subtle problem with the regularity of the velocity field. We thus defend the main results of our paper, which predicts the double-cascade scenario where the quantum stress cascade follows the Richardson cascade. We also provide a conjecture on the relation between the Kelvin-wave cascade and the quantum stress cascade.

研究动机与目标

• 回应 Krstulovic、L’vov 和 Nazarenko 对量子湍流中双级联情景的批评。
• 解决在存在量子涡旋时速度场正则性的问题。
• 在凯尔文波级联可能占主导地位的背景下，验证具有 k⁻³ 谱的量子应力级联的存在性。
• 通过引入密度加权速度 w = √ρv，建立更稳健的数学框架以确保物理一致性。
• 澄清原始结果 [1] 即使在小于涡旋核心尺度 ℓi 的尺度上依然有效。

提出的方法

• 提出使用密度加权速度 w = √ρv 而非 v，以避免在涡旋线上附近 v 的 Besov 正则性问题。
• 假设 w 具有 Besov 正则性：||δw(r;·)||_p ∼ Ap w₀ (|r|/L)^σp，当 |r|/L → 0 时，σp ∈ (0,1]。
• 引入尺度局部能量通量 Πℓ、Λ(p)ℓ 和 Λ(Σ)ℓ，以分析跨尺度的动能传输。
• 推导出能量通量的渐近标度律：||Πℓ||_p/3 ∼ (ℓ/L)^{3σp−1}，||Λ(p)ℓ||_p/3 ∼ (ℓ/L)^{σp+1}，||Λ(Σ)ℓ||_p/3 ∼ (ℓ/L)^{σp−1}。
• 将量子巴罗皮nal 功 Λ(Σ)ℓ 作为量子应力级联的主要驱动力。
• 证明在这些假设下，能量谱表现出 E(k) ∼ Clarge k⁻⁵/³（Richardson 级联）和 E(k) ∼ Csmall k⁻³（量子应力级联）的特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 在比原始对 v 的 Besov 假设更严格的正则性条件下，具有 k⁻³ 谱的量子应力级联是否依然存在？
• RQ2 在存在涡旋的情况下，能否在不依赖 v 正则性的前提下一致地推导出双级联情景？
• RQ3 量子应力级联是否在物理上区别于线性系统（如薛定谔方程）中的级联？
• RQ4 使用密度加权速度 w = √ρv 如何提升现象学模型的数学一致性？
• RQ5 量子应力级联与凯尔文波级联之间存在何种关系，特别是在谱变陡方面？

主要发现

• 具有 k⁻³ 谱的量子应力级联是量子巴罗皮nal 功 Λ(Σ)ℓ 的直接结果，紧随 Richardson 级联之后。
• 能量谱表现出双级联结构：当 k ≪ ℓ⁻¹_i 时，E(k) ∼ Clarge k⁻⁵/³；当 ℓ⁻¹_i ≪ k ≪ ℓ⁻¹_small 时，E(k) ∼ Csmall k⁻³。
• 使用密度加权速度 w = √ρv 确保了在涡旋线附近速度场保持良好行为，解决了正则性方面的担忧。
• 即使可能被凯尔文波效应部分削弱，k⁻³ 谱在新的正则性假设下依然稳健。
• 原始结果 [1]（包括类似 Kolmogorov 的 4/5 定律）在小于涡旋核心尺度 ℓi 的尺度上依然有效。
• 分析证实，量子欧拉方程正确地将 GPE 解作为子集包含在内，通过波函数单值性保持了涡旋量化。