[论文解读] Report on Generic Case Complexity

Robert H. Gilman, Alexei Myasnikov+2 more|ArXiv.org|Jul 10, 2007

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用 9

一句话总结

本文引入了通用情形复杂度（generic case complexity）作为评估计算难度的框架，通过关注算法在‘通用’输入集上的行为——即具有渐近密度1的集合——来衡量计算难度，同时忽略罕见且非典型的案例。研究表明，即使在最坏情况下不可判定或属于NP完全的问题，如停机问题、Post对应问题和3-SAT，也可在通用集合上以多项式时间求解，相较于平均情况复杂度，该框架提供了更实用且更广泛的衡量方式。

ABSTRACT

This article is a short introduction to generic case complexity, which is a recently developed way of measuring the difficulty of a computational problem while ignoring atypical behavior on a small set of inputs. Generic case complexity applies to both recursively solvable and recursively unsolvable problems.

研究动机与目标

• 提出通用情形复杂度作为新的复杂度度量标准，重点关注典型输入而非最坏情况或平均情况下的行为。
• 证明在组合群论中不可判定的问题（如字问题和共轭问题）可在通用集合上以线性时间求解。
• 将通用情形复杂度与平均情况复杂度进行比较，突出其更广泛的应用范围以及对不可判定问题的直接适用性。
• 建立通用多项式时间（GenP）与平均多项式时间（AvP）的不可比性，同时证明一大类平均情况下的多项式函数也属于通用多项式时间。
• 为未来关于通用情形完全性及通用集合上不可判定性的工作奠定基础。

提出的方法

• 使用输入集 I 及其正子集 L 或关系 R 来定义决策问题与搜索问题，并通过函数 σ: I → ℕ 衡量输入长度。
• 引入渐近密度 ρ(S) = limₙ→∞ |S ∩ Iₙ| / |Iₙ| 以识别通用集合（密度为1），算法在此类集合上进行评估。
• 将通用多项式时间（GenP）形式化为在渐近密度为1的集合上运行时间多项式有界的算法。
• 利用球 Bₙ 上的球面对称分布 μₙ 定义平均情况复杂度，若存在 ε > 0 使得 ∫f^ε dμ < ∞，则称函数在平均意义下为多项式。
• 通过证明：若函数在球面对称分布下的期望时间被多项式有界，则其运行时间属于通用多项式时间，从而比较通用情形与平均情况复杂度。
• 证明：若某算法在球面对称分布下的期望时间被多项式有界，则其运行时间属于通用多项式时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在最坏情况下不可判定的计算问题，是否仍可在通用输入集上高效求解？
• RQ2 在适用范围、可应用性及技术要求方面，通用情形复杂度与平均情况复杂度相比如何？
• RQ3 是否存在自然的问题类别，使得其在通用多项式时间下可解，即使在最坏情况或平均情况下的复杂度属于难解？
• RQ4 通用情形复杂度的框架能否扩展至在通用集合上不可判定的问题？
• RQ5 在平均意义下为多项式的时间函数与在通用情形下为多项式的时间函数之间存在何种关系？

主要发现

• 在有限生成群中，字问题、共轭问题与成员资格问题可在通用输入集上以线性时间求解，即使在一般情况下为递归不可解。
• 停机问题与Post对应问题可在通用集合上以多项式时间求解，尽管其在最坏情况下为不可判定。
• 3-可满足性（3-SAT）可在通用输入集上以多项式时间求解，表明NP完全性并不排除在典型实例上实现高效性能。
• 通用情形复杂度比平均情况复杂度更广泛且更简洁，因为它既适用于可判定问题也适用于不可判定问题，并且直接衡量算法在大多数输入上的表现。
• 存在属于 AvP（平均多项式时间）但不属于 GenP（通用多项式时间）的函数，反之亦然，表明 AvP 与 GenP 是不可比的复杂度类。
• 若函数 f 在球面对称分布下为平均多项式时间，则其为通用多项式时间，建立了两种框架之间的重要重叠。