[论文解读] Representability of Matroids by c-Arrangements is Undecidable

Lukas Kühne, Geva Yashfe|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2019

graph theory and CDMA systems被引用 4

一句话总结

该论文证明了，对于任意域，判断一个给定的拟阵是否可由满足维度-重数条件的c-排列表示是算法上不可判定的。作者通过广义Dowling几何将有限群的统一词问题（UWPFG）约化为c-排列表示问题，从而确立了多线性拟阵表示的不可判定性，其结果对网络编码和秘密共享具有重要意义。

ABSTRACT

For a natural number $c$, a $c$-arrangement is an arrangement of dimension $c$ subspaces satisfying the following condition: the sum of any subset of the subspaces has dimension a multiple of $c$. Matroids arising as normalized rank functions of $c$-arrangements are also known as multilinear matroids. We prove that it is algorithmically undecidable whether there exists a $c$ such that a given matroid has a $c$-arrangement representation, or equivalently whether the matroid is multilinear. It follows that certain network coding problems are also undecidable. In the proof, we introduce a generalized Dowling geometry to encode an instance of the uniform word problem for finite groups in matroids of rank three. The $c$-arrangement condition gives rise to some difficulties and their resolution is the main part of the paper.

研究动机与目标

• 解决多线性拟阵表示是否可判定这一长期悬而未决的问题。
• 建立c-排列表示与有限群统一词问题（UWPFG）之间的联系。
• 证明拟阵存在c-排列表示是不可判定的，即使在代数闭域上也是如此。
• 将Dowling几何构造扩展至秩为三的拟阵中，以编码群表示。
• 表明UWPFG的不可判定性可通过可计算约化推出c-排列表示的不可判定性。

提出的方法

• 从有限群表示 ⟨S∣R⟩ 构造广义Dowling几何，将群元素与关系编码进一个秩为三的拟阵中。
• 通过4.3节的构造，定义一个三角拟阵 N_{S,R}，其具有特殊基及对应于群词的元素。
• 基于定理7.6，从 N_{S,R} 构造一个拟阵 g，以捕捉群表示的结构。
• 通过g的优良分离扩张构造一个双重排列 W，利用c-基确保元素的分离。
• 利用Malcev定理，将无限矩阵群映射到有限商群，同时保持表示的非等价性。
• 应用UWPFG的约化：当且仅当群词非平凡时，拟阵存在满足 A_x ≠ A_y 的弱c-表示，从而与c-排列表示建立联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个算法，可判定给定拟阵在任意域上是否允许c-排列表示？
• RQ2 能否将有限群的统一词问题约化为拟阵的c-排列表示问题？
• RQ3 若两个元素存在具有不同子空间的弱c-表示，是否意味着其扩展拟阵存在c-排列表示？
• RQ4 多线性拟阵表示是否严格强于1-排列表示，且其可判定性如何？
• RQ5 给定与拟阵关联的网络编码实例，确定其是否存在线性解的计算复杂度是多少？

主要发现

• 在任意域上，包括代数闭域，拟阵的多线性表示问题都是不可判定的。
• 该不可判定性源于从有限群统一词问题（UWPFG）的可计算约化，而Slobodskoi定理已知UWPFG是不可判定的。
• 由群表示 ⟨S∣R⟩ 构造的拟阵 N_{S,R} 存在满足 A_x ≠ A_y 的弱c-表示，当且仅当群词 w 在群中非平凡。
• 若存在此类弱c-表示，则2g的某个扩展（其中g为来自 N_{S,R} 的拟阵）存在可分离x与y的c-排列表示。
• 在有限个关联拟阵 M_i 中，存在c-排列表示，当且仅当UWPFG实例的答案为否定。
• 该结果意味着，判断网络编码问题是否存在线性向量解也是不可判定的，因为其与多线性表示性已知等价。