[论文解读] Representation formulae for the fractional Brownian motion

Picard, Jean|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文通过随机积分和级数展开，统一处理了分数布朗运动（fBm）的表示公式，建立了fBm、黎曼-刘维尔过程与傅里叶-维纳级数之间的联系。证明了它们的坎姆-马汀空间等价，并利用分数阶微积分和遍历理论，确定了其概率测度等价或彼此奇异的条件。

ABSTRACT

We discuss the relationships between some classical representations of the fractional Brownian motion, as a stochastic integral with respect to a standard Brownian motion, or as a series of functions with independent Gaussian coefficients. The basic notions of fractional calculus which are needed for the study are introduced. As an application, we also prove some properties of the Cameron-Martin space of the fractional Brownian motion, and compare its law with the law of some of its variants. Several of the results which are given here are not new; our aim is to provide a unified treatment of some previous literature, and to give alternative proofs and additional results; we also try to be as self-contained as possible.

研究动机与目标

• 通过随机积分和级数展开，统一并重新推导分数布朗运动（fBm）的经典表示形式。
• 阐明fBm、黎曼-刘维尔过程与傅里叶-维纳级数表示之间的关系。
• 分析fBm的坎姆-马汀空间，并通过等价性与奇异性的判据，比较其概率测度与变体之间的关系。
• 提供已知fBm理论结果的自包含证明与替代推导。

提出的方法

• 使用fBm的随机积分表示形式：∫K^H(t,s)dW_s，其中W为标准布朗运动。
• 应用分数阶微积分，特别是黎曼-刘维尔与加权分数阶算子，推导核表示形式。
• 采用兰珀蒂变换将自相似过程与平稳过程关联，并应用遍历理论。
• 利用伯克霍夫遍历定理，将小时间行为与自相似过程的完整协方差结构联系起来。
• 应用菲尔德曼-哈杰克定理，通过坎姆-马汀空间同构与希尔伯特-施密特算子，判断高斯测度的等价性或奇异性的条件。
• 通过分析坎姆-马汀空间之间算子Q−I的希尔伯特-施密特性质，比较fBm及其变体的概率测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 分数布朗运动如何表示为相对于标准布朗运动的随机积分？
• RQ2 fBm、黎曼-刘维尔过程与傅里叶-维纳级数表示之间存在何种关系？
• RQ3 两个fBm变体的概率测度在何时等价或彼此奇异？
• RQ4 fBm的坎姆-马汀空间如何与其中变体的坎姆-马汀空间相关联？
• RQ5 能否从小时间行为中恢复自相似高斯过程的完整概率测度？

主要发现

• 在适当的参数选择下，fBm、黎曼-刘维尔过程与傅里叶-维纳级数表示的坎姆-马汀空间是等价的。
• 当且仅当相关算子Q−I为希尔伯特-施密特算子时，fBm的概率测度与其黎曼-刘维尔变体等价。
• 对于H ∈ (0,1)，fBm的概率测度由其小时间协方差行为唯一确定，该结论通过伯克霍夫遍历定理得到证明。
• 通过伏尔泰拉核的规范表示确保了fBm的滤子包含于驱动过程增量的滤子中。
• 由于无限方差及小时间0-1律的失效，H=1时的分数布朗运动被排除在分析之外。
• 在可分弗雷chet空间上，两个中心化的高斯测度等价，当且仅当它们的坎姆-马汀空间同构，且差算子Q−I为希尔伯特-施密特算子。